Normalfördelning

Sannolikheten 68 % anger ett område som ligger ca ± 1 standardavvikelse från medelvärdet.

Det är alltså 2 standardavvikelser mellan vikten 24,99 och 25,01 kg. Det innebär att en standardavvikelse är hälften av skillnaden mellan dessa värden. Eftersom vi ska svara i gram omvandlar vi till det genom att först multiplicera de givna vikterna med 1 000. Därefter beräknar vi standardavvikelsen: σ=25 010-24 990/2=20/2=10 g. Standardavvikelsen är alltså 10 g.

Vi skissar upp en normalfördelningskurva. Vi vet att värdet 163 slag/min hamnar på μ-2σ, eftersom det är 2,3 % som har lägre puls än så. Vi vet också att 196 slag/min ligger en standardavvikelse över medelvärdet, eftersom 13,6 % +2,3 % = 15,9 % är summan av de observationer som ligger i de översta två intervallen.

Nu kan vi beräkna standardavvikelsen eftersom vi vet att det är 3 intervall, och därför 3σ, från 163 till 196 slag/min. Vi tar skillnaden och delar i tre lika stora delar: σ= 196-163/3=33/3=11 slag/min. Medelvärdet beräknar vi genom att dra ifrån en standardavvikelse från 196, vilket är 196-11=185 slag/min.

Den genomsnittliga maxpulsen för en 35-åring är alltså 185 slag i minuten.

Mellan längderna 275 mm och 281 mm är det 281-275=6 mm. Genom att dela 6 med 2 (dvs. en standardavvikelse) beräknar vi antalet standardavvikelser som skiljer dessa längder åt: 6/2=3 standardavvikelser. Det finns två områden i en normalfördelning som omfattar ungefär 82 % av observationerna och skiljer sig 3 standardavvikelser åt.

Antingen ligger 275 mm en eller två standardavvikelser under medelvärdet. Medelvärdet för ljusens längder kan alltså vara något av dessa fall: &Fall 1: 275+2=277 mm. [0.5em] &Fall 2: 275+2+2=279 mm.

Vi börjar med att undersöka endast vad som händer med medelvärdet för müslipaketen. Det ökar till 400 g, vilket får hela normalfördelningen skifta åt höger så att det nya medelvärdet hamnar en standardavvikelse över det gamla, som den gröna kurvan.

Nu lägger vi till att även standardavvikelsen förändras, den halveras från 20 g till 10 g. Då samlas observationerna tätare runt medelvärdet vilket gör att normalfördelningskurvan smalnar av och blir toppigare. Det får nu plats två nya standardavvikelser på en gammal.

Sammantaget har kurvan alltså förskjutits åt höger och blivit smalare men högre.

Vi börjar med att titta på medelvärdet och ser att killarnas medellängd är 178 cm medan tjejernas medellängd är 165 cm. Genom att subtrahera medelvärdet i respektive normalfördelning från värdet som ligger en standardavvikelse ovanför kan vi bestämma hur stor denna standardavvikelse är för respektive kön: Killar:& 188-178=10 cm 0,5em] Tjejer:& 174-165=9 cm Killarna har en standardavvikelse på 10 cm och tjejernas standardavvikelse är 9 cm. Killarna är alltså längre i medel men har också större variation i sina längder.

Vi går först igenom sannolikheterna för Torvald och Tindra separat.

Torvald

Vi söker sannolikheten att Torvald är kortare än 188 cm. Han ska alltså ingå i de observationer som ligger nedanför 188 cm dvs. de som är ligger 1 standardavvikelse till höger om medelvärdet och under. Vi markerar dessa i normalfördelningskurvan som beskriver killarnas längd.

Sannolikheten att en slumpmässigt vald kille är kortare än 188 cm är summan av de markerade procentsatserna i figuren: 2,3 % + 13,6 % +34,1 % + 34,1 % =84,1 %.

Tindra

För Tindra söker vi istället sannolikheten att hon är längre än 174 cm, dvs. hon ska ingå i de observationer som ligger ovanför 174 cm, vilket är 1 standardavvikelse över medelvärdet och uppåt. Vi markerar detta intervall i normalfördelningskurvan som beskriver tjejernas längd.

Sannolikheten att en slumpmässigt vald tjej är längre än 174 cm är summan av procentsatserna i figuren: 13,6 % + 2,3 % = 15,9 %.

Sannolikhetsberäkning

När vi nu vet sannolikheterna för de två händelserna på egen hand kan vi beräkna sannolikheten för att Torvald är kortare än 188 cm och Tindra är längre än 174 cm. Vi multiplicerar då de två sannolikheterna med varandra: P=0,841* 0,159≈ 0,13 Sannolikheten att Torvald är kortare än 188 cm och att Tindra är längre än 174 cm är alltså ca 13 %.

Vi börjar med att rita en normalfördelning som beskriver burkarna. Med medelvärdet μ = 395 och standardavvikelsen σ = 5 kan vi räkna ut markeringarna på x-axeln som μ - 2σ &= 395 - 2 * 5 = 385, μ - σ &= 395 - 5 = 390, μ + σ &= 395 + 5 = 395, μ + 2σ &= 395 + 2 * 5 = 395. Vi vill avgöra hur stor andel av burkarna som har mindre än 400 g, så vi markerar intervallet från 400 och neråt.

Genom att addera sannolikheterna i det markerade området kan vi bestämma andelen till 2,3 % +13,6 % +34,1 % +34,1 % = 84,1 %. Enligt beräkningen kan man alltså förvänta sig att 84,1 % av burkarna innehåller mindre än 400 g tomater.

Om 97,7 % av burkarna ska ha minst 400 g tomater får högst 100 %-97,7 %=2,3 % av burkarna innehålla mindre än 400 g. Intervallet två standardavvikelser till vänster om medelvärdet och neråt är 2,3 % av fördelningen, så 400 ska stå längst till höger i det intervallet.

Medelvärdet ligger alltså två standardavvikelser höger om 400 i normalfördelningskurvan, dvs. vid 400+5+5=410 g.

Det finns flera saker i figuren som tyder på att materialet inte är normalfördelat:

• Procentsatserna är fel. Om intervallgränserna är uppdelade i standardavvikelser stämmer inte procentsatserna med standardvärdena för en normalfördelning. Om värdena stämmer kan inte materialet vara normalfördelat.
• Carl Friedrichs graf slutar skarpt vid 35 år och 65 år, vilket en normalfördelning inte bör göra. Dess "svansar" ska fortsätta åt vänster och höger. Det blir mindre sannolikt att hitta en datapunkt ju längre bort från medelvärdet man kommer, men sannolikheten blir inte noll.

Vi vet att siffrorna från figuren stämmer, så vi har följande information:

• Samtliga värden (100 %) ryms inom värdena 35 och 65. Det innebär att minsta och största värde är 35 år respektive 65 år.
• Talen 45, 50 och 55 delar in materialet i fyra lika stora delar (25 % i varje). Det betyder att materialet har kvartilerna Q_1=45, Q_2=50 och Q_3=55.

Vi vet inte hur fördelningen ser ut mellan dessa värden, men vi kan rita ett lådagram som ger en korrekt representation av datamängden.