Förklaring

Hur kan ee beräknas?

Ett sätt man kan beräkna talet ee på utgår ifrån derivatans definition för exponentialfunktionen ax,a^x, där aa är något positivt tal. Då får man uttrycket D(ax)=axlimh0ah1h. D(a^x) = a^x \cdot \lim\limits_{h\to0}\dfrac{a^h - 1}{h}. Om gränsvärdet i uttrycket antar värdet 11 för något specifikt aa fås deriveringsregeln D(ax)=ax,D(a^x) = a^x, vilket gäller då aa har värdet e.e. Det är därmed intressant att undersöka likheten limh0eh1h=1 \lim\limits_{h\to0}\dfrac{e^h - 1}{h} = 1 om man vill beräkna e.e. För att undvika felaktiga omskrivningar av uttrycket kan man nu ersätta gränsvärdet med att likheten ungefärligt gäller så länge hh är något litet. Man kan då behandla uttrycket som en ekvation, där man vill få ee ensamt i ena ledet.
eh1h1\dfrac{e^h - 1}{h} \approx 1
eh1he^h - 1 \approx h
ehh+1e^h \approx h + 1
e(h+1)1/he \approx (h + 1)^{1/h}
Ju mindre hh är, desto mer likt kommer vänster- och högerledet vara. Om detta dras till sin spets får man ett gränsvärde som ger e:e\text{:} e=limh0(h+1)1/h. e = \lim\limits_{h\to0}(h + 1)^{1/h}. Detta gränsvärde uttrycks oftast på den alternativa formen e=limn(1n+1)n, e = \lim\limits_{n\to\infty}\left( \dfrac{1}{n} + 1 \right)^{n}, som man får med substitutionen h=1n.h = \frac{1}{n}. Samtidigt som hh närmar sig 00 måste då nn närma sig oändligheten, vilket ger limn\lim\limits_{n\to \infty} i det andra gränsvärdet. Genom att numeriskt sätta in mindre h,h, alternativt större n,n, får man ett mer och mer exakt värde på e.e.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}