Förklaring

Hur kan $e$ beräknas?

Ett sätt man kan beräkna talet

e

a^{x},

där

a

är något positivt tal. Då får man uttrycket

D (a^{x}) = a^{x} \cdot h \to 0 lim \frac{a ^{h} - 1}{h} .

Om gränsvärdet i uttrycket antar värdet

1

för något specifikt

a

fås deriveringsregeln

D (a^{x}) = a^{x},

vilket gäller då

a

har värdet

e .

Det är därmed intressant att undersöka likheten

h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h} = 1

om man vill beräkna

e .

För att undvika felaktiga omskrivningar av uttrycket kan man nu ersätta gränsvärdet med att likheten ungefärligt gäller så länge

h

är något litet. Man kan då behandla uttrycket som en ekvation, där man vill få

e

ensamt i ena ledet.

\frac{e ^{h} - 1}{h} \approx 1

$VL \cdot h \approx HL \cdot h$

e^{h} - 1 \approx h

$VL + 1 \approx HL + 1$

e^{h} \approx h + 1

$VL^{1 / h} \approx HL^{1 / h}$

e \approx (h + 1)^{1 / h}

Ju mindre

h

är, desto mer likt kommer vänster- och högerledet vara. Om detta dras till sin spets får man ett gränsvärde som ger

e :

e = h \to 0 lim (h + 1)^{1 / h} .

Detta gränsvärde uttrycks oftast på den alternativa formen

e = n \to \infty lim (\frac{1}{n} + 1)^{n},

som man får med substitutionen

h = \frac{1}{n} .

Samtidigt som

h

närmar sig

0

måste då

n

närma sig oändligheten, vilket ger

n \to \infty lim

i det andra gränsvärdet. Genom att numeriskt sätta in mindre

h,

alternativt större

n,

får man ett mer och mer exakt värde på

e .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}