Regel

Komplexkonjugatet av en summa

Komplexkonjugatet av en summa kan skrivas som summan av konjugaten.

$\overline{z_1 + z_2} =\bar{z}_1 + \bar{z}_2$

Det här kan visas genom att skriva talen på rektangulär form, t.ex.

z_1 = a+bi\quad \text{och} \quad z_2 =c+di,

och utveckla vänsterledet. Notera att med dessa val blir konjugaten

\bar{z}_1 = a-bi

och

\bar{z}_2 = c-di.

\overline{z_1 + z_2}

z_1={\color{#0000FF}{a+bi}}

,

z_2={\color{#009600}{c+di}}

\overline{{\color{#0000FF}{a+bi}} + {\color{#009600}{c+di}}}

\OT

\overline{a+c +bi+di}

Bryt ut

i

\overline{a+c +i(b+d)}

\overline{a+bi}=a-bi

a+c -i(b+d)

Multiplicera in

i

a+c -(bi+di)

Ta bort parentes & byt tecken

a+c -bi-di

\OT

a-bi +c-di

a-bi={\color{#0000FF}{\bar{z}_1}}

,

c-di={\color{#009600}{\bar{z}_2}}

{\color{#0000FF}{\bar{z}_1}} + {\color{#009600}{\bar{z}_2}}

Alltså är

\overline{z_1 + z_2} =\bar{z}_1 + \bar{z}_2

Q.E.D.

Videohandledningar