Komplexkonjugatet av en summa

Komplexkonjugatet av en summa kan skrivas som summan av konjugaten.

$\overline{z_{1} + z_{2}} = \overset{z}{ˉ}_{1} + \overset{z}{ˉ}_{2}$

Det här kan visas genom att skriva talen på rektangulär form, t.ex.

z_{1} = a + b i och z_{2} = c + d i,

och utveckla vänsterledet. Notera att med dessa val blir konjugaten

\overset{z}{ˉ}_{1} = a - b i

och

\overset{z}{ˉ}_{2} = c - d i .

\overline{z_{1} + z_{2}}

$z_{1} = a + b i$ , $z_{2} = c + d i$

\overline{a + b i + c + d i}

\OT

\overline{a + c + b i + d i}

Bryt ut $i$

\overline{a + c + i (b + d)}

$\overline{a + b i} = a - b i$

a + c - i (b + d)

Multiplicera in $i$

a + c - (b i + d i)

Ta bort parentes & byt tecken

a + c - b i - d i

\OT

a - b i + c - d i

$a - b i = \overset{z}{ˉ}_{1}$ , $c - d i = \overset{z}{ˉ}_{2}$

\overset{z}{ˉ}_{1} + \overset{z}{ˉ}_{2}

Alltså är

\overline{z_{1} + z_{2}} = \overset{z}{ˉ}_{1} + \overset{z}{ˉ}_{2}

Q.E.D.