Regel

Komplexkonjugatet av en summa

Komplexkonjugatet av en summa kan skrivas som summan av konjugaten.

$\overline{z_1 + z_2} =\bar{z}_1 + \bar{z}_2$

Det här kan visas genom att skriva talen på rektangulär form, t.ex. $z_1 = a+bi\quad \text{och} \quad z_2 =c+di,$ och utveckla vänsterledet. Notera att med dessa val blir konjugaten $\bar{z}_1 = a-bi$ och $\bar{z}_2 = c-di.$

$\overline{z_1 + z_2}$

$z_1={\color{#0000FF}{a+bi}}$, $z_2={\color{#009600}{c+di}}$

$\overline{{\color{#0000FF}{a+bi}} + {\color{#009600}{c+di}}}$

\OT

$\overline{a+c +bi+di}$

Bryt ut $i$

$\overline{a+c +i(b+d)}$

$\overline{a+bi}=a-bi$

$a+c -i(b+d)$

Multiplicera in $i$

$a+c -(bi+di)$

Ta bort parentes & byt tecken

$a+c -bi-di$

\OT

$a-bi +c-di$

$a-bi={\color{#0000FF}{\bar{z}_1}}$, $c-di={\color{#009600}{\bar{z}_2}}$

${\color{#0000FF}{\bar{z}_1}} + {\color{#009600}{\bar{z}_2}}$

Alltså är $\overline{z_1 + z_2} =\bar{z}_1 + \bar{z}_2$

Q.E.D.