Bevis

Omkrets av en cirkel

Vi börjar med konstaterandet att alla cirklar är likformiga med varandra. Det beror på att två figurer är likformiga om den ena kan förstoras eller förminskas så att den blir identisk med den andra figuren. Detta gäller alltid för två cirklar, vilket bilden försöker visa.

Den röda cirkeln är likformig med den blå, eftersom den röda kan förminskas så att den helt sammanfaller med den blå. Med detta i bagaget kan vi gå över till $\pi$. En vanlig definition av $\pi$ är att det är förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter: $\pi = \dfrac{\text{Omkrets}}{\text{Diameter}}.$ Med insikten att alla cirklar är likformiga kommer denna kvot ge samma värde för alla cirklar, dvs. $\pi$ är en konstant. Då behöver vi bara lösa ut omkretsen ($O$) ur ekvationen ovan och byta ut diametern ($d$) till dubbla radien, $2r$.

$\pi = \dfrac{O}{d}$

$\text{VL} \cdot d=\text{HL}\cdot d$

$\pi\cdot d = O$

Omarrangera ekvation

$O = \pi\cdot d$

$d={\color{#0000FF}{2r}}$

$O = \pi\cdot {\color{#0000FF}{2r}}$

Omarrangera faktorer

$O = 2\pi r$

En cirkels omkrets kan alltså beräknas med formeln $2\pi r$.

Q.E.D.