Bevis

Bevis för avståndsformeln

Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem (betecknas ofta

d

) kan ses som hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är de vågräta och lodräta avstånden mellan punkterna, alltså

Δ x

och

Δ y .

Enligt Pythagoras sats förhåller sig hypotenusan till kateterna som

d^{2} = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2},

där

Δ x

och

Δ y

är differensen mellan punkternas koordinater.

Δ x

är alltså

x_{2} - x_{1}

och

Δ y

är

y_{2} - y_{1}

. Detta sätts in i uttrycket och

d

löses ut för att få avståndsformeln.

d^{2} = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}

$Δ x = x_{2} - x_{1}$ och $Δ y = y_{2} - y_{1}$

d^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

$VL = HL$

d = \pm (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

$d > 0$

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Eftersom $d$ är en sträcka är den alltid positiv. Därför är den negativa lösningen inte intressant.

Q.E.D.