Vinklar och trianglar

Begrepp

Vinkel

En vinkel mäter en vridning och har ofta enheten grader. Vinkeln $0^\circ$ innebär ingen vridning alls och $360^\circ$ motsvarar ett helt varv.

Beroende på storleken ges vinklar olika namn, och i intervallet $0^\circ<v\leq180^\circ$ delas de upp i fyra kategorier: spetsiga, räta, trubbiga och raka. En rak vinkel är detsamma som ett halvt varv.

Exempel

Bestäm den okända vinkeln

Uppgift

Bestäm storleken på vinkel $x.$

Lösning

Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel, så summan av dem är $180^\circ$. Det betyder att $x+138^\circ=180^\circ$. Vi löser ut $x$ ur ekvationen genom att subtrahera $138^\circ$ från båda led.

$x+138^\circ=180^\circ$

$\text{VL}-138^\circ=\text{HL}-138^\circ$

$x=180^\circ-138^\circ$

Förenkla termer

$x=42^\circ$

Vinkel $x$ är alltså $42^\circ$.

Visa lösning Visa lösning

Begrepp

Triangel

En triangel är en geometrisk figur med tre hörn, sammanbundna av tre raka sidor. Vinkelsumman är alltid $180^\circ.$ Vissa sorters trianglar förekommer ofta och har därför fått egna namn.

• Rätvinklig triangel: En vinkel är $90 ^\circ$.
• Liksidig triangel: Alla sidor är lika långa.
• Likbent triangel: Två sidor är lika långa.

Rätvinklig

Liksidig

Likbent

Återställ

Exempel

Hur stor är tredje vinkeln i triangeln?

Uppgift

Vad är vinkeln vid hörn $C$?

Lösning

Vinkel $A$ är $56^\circ$ och vinkeln $B$ är rät, det vill säga $90^\circ$. Summan av vinklarna $A,$ $B$ och $C$ ska vara lika med vinkelsumman för en triangel: $180^\circ.$ Detta bildar en ekvation, som man kan lösa med t.ex. balansmetoden.

$56^\circ+90^\circ+C=180^\circ$

Förenkla termer

$146^\circ+C=180^\circ$

$\text{VL}-146^\circ=\text{HL}-146^\circ$

$C=34^\circ$

Vinkeln vid hörn $C$ är alltså $34^\circ$.

Visa lösning Visa lösning

Regel

Pythagoras sats

Om en triangel är rätvinklig gäller Pythagoras sats, som anger sambandet mellan de tre sidornas längder. Den längsta sidan i triangeln, hypotenusan, betecknas oftast med c och de två andra sidorna, som kallas kateter, med a och b.

Enligt Pythagoras sats gäller att summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten av hypotenusan.

$a^2+b^2=c^2$

Exempel

Bestäm okänd sida i en rätvinklig triangel

Uppgift

Bestäm den okända sidan i triangeln. Längderna är angivna i cm.

Lösning

Vi har fått längderna för de två katetrarna i triangeln, alltså $a$ och $b$ i Pythagoras sats: $a^2 + b^2 = c^2.$ Den okända sidan, $x$, är hypotenusan och betecknas av $c$ i satsen. Vi sätter in de kända sidorna och löser ut $x$.

$a^2+b^2=c^2$

Sätt in uttryck

$5^2+12^2=x^2$

Beräkna potens

$25+144=x^2$

Förenkla termer

$169=x^2$

Omarrangera ekvation

$x^2=169$

$\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}$

$x=\pm \sqrt{169}$

Beräkna rot

$x=\pm 13$

$x \gt 0$

$x= 13$

Hypotenusan $x$ är alltså 13 cm lång. Vi fick ett negativt resultat också, men eftersom det är en längd vi är ute efter måste den vara positiv.

Visa lösning Visa lösning

Regel

Notation inom geometri

Geometri innehåller en hel del speciella tecken och symboler som är bra att känna till.

Notation
Trianglar: $\triangle$

En triangel kan betecknas med symbolen $\triangle$ följt av bokstäverna vid dess hörn. Triangeln nedan benämns alltså $\triangle ABC$. En viss sida i en triangel kan anges med sidans start- och slutpunkt, t.ex. sidan mellan hörn $A$ och $B$ kallas $AB.$

Notation
Vinklar: $\wedge$ eller $\angle$

För att namnge en vinkel används tecknet $\wedge$ eller ibland $\angle$, följt av en bokstav. Exempelvis kan den röda vinkeln i triangeln betecknas $\wedge B.$

Om en linje dras från $\wedge B$ mot sidan $AC$ delas vinkel $B$ i två mindre vinklar. Nu är det inte längre entydigt vad som är $\wedge B$. Menar man den blå vinkeln som bildades i figuren nedan kallar man den $\wedge ABD$: man utgår ifrån hörn $A$, följer vinkelbenet mot $B$ och sedan till hörn $D.$ På motsvarande sätt kan man kalla hela den röda vinkeln för $\wedge ABC$ och den gröna $\wedge DBC$ .

Notation
Lika stora sidor eller vinklar: |, || eller |||

Är två eller fler sidor lika stora kan man markera att de är det med ett streck genom sidornas mittpunkter. Finns det fler sidor som är lika stora markeras dessa med två streck, nästa med tre osv. Samma notation används för att markera vinklar som är lika stora. I figuren är den blå och gröna triangeln likbenta vilket innebär att två sidor och basvinklarna i respektive triangel är lika.