Skissa en andragradskurva

För att skissa en andragradskurva behöver man dels veta kurvans extrempunkt samt ytterligare två punkter på varsin sida om symmetrilinjen. Exempelvis kan funktionen y=x22x+1 y=x^2-2x+1 skissas genom att följa nedanstående metod.

Man börjar med att hitta symmetrilinjen, vilket för exemplet kan göras med hjälp av pqpq-formeln. Skriver vi funktionen på pqpq-form, dvs. x22x+1=0x^2-2x+1=0 kan symmetrilinjen läsas av direkt. x=--22±(-22)21 x=\text{-}\dfrac{\text{-}2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{\text{-}2}{2}\right)^2-1} Symmetrilinjen xsx_s är termen framför rottecknet.

xs=--22x_s=\text{-}\dfrac{\text{-} 2}{2}
xs=-(-1)x_s=\text{-}(\text{-} 1)
xs=1x_s=1

Kurvan är alltså symmetrisk runt xs=1.x_s=1.

Efter att man har bestämt symmetrilinjen vill man hitta det extremvärde som finns på denna linje. Det gör man genom att sätta in xx-värdet för symmetrilinjen, vilket är x=1x=1 för vårt exempel, i funktionen.

y=x22x+1y=x^2-2x+1
x=1x={\color{#0000FF}{1}}
y=1221+1y={\color{#0000FF}{1}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{1}}+1
y=12+1y=1-2+1
y=0y=0

Extremvärdet är y=0y=0 och finns vid x=1,x=1, vilket innebär att kurvans extrempunkt har xx-koordinaten 11 och yy-koordinaten 0.0. Den ligger alltså i (1,0),(1,0), vilket ger den första punkten på grafen.

För att kunna rita ut grafen krävs ytterligare två punkter som ligger på den. Ett sätt att hitta dessa är att bestämma en punkt på ena sidan om symmetrilinjen och sedan utnyttja symmetrin för att bestämma motsvarande punkt på andra sidan. I fallet som studeras här kan man exempelvis först beräkna funktionsvärdet för x=2x=2 som ligger ett steg åt höger om symmetrilinjen.

y=x22x+1y=x^2-2x+1
x=2x={\color{#0000FF}{2}}
y=2222+1y={\color{#0000FF}{2}}^2-2\cdot {\color{#0000FF}{2}}+1
y=44+1y=4-4+1
y=1y=1

Punkten (2,1)(2,1) ligger alltså på kurvan. Symmetrin ger nu att kurvan har ytterligare en punkt som ligger vid samma yy-värde och lika långt från symmetrilinjen. Det ger punkten (0,1)(0,1) som ligger ett steg åt vänster och vid yy-värdet 1.1. Det ger totalt tre kända punkter på kurvan, vilket räcker för att rita ut den.

Nu kan man sammanbinda punkterna för att bilda sig en uppfattning om andragradskurvans utseende. Kurvan ska ha formen av en parabel som vänder i extrempunkten.