Linjära funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad kk-form.

y=kx+my=kx+m

kk- och mm-värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper.
Begrepp

kk-värde

För en rät linje anger konstanten kk lutningen för linjen, alltså antalet steg linjen rör sig i yy-led när man går 1 steg åt höger i xx-led. Denna lutning kallas oftast bara för kk-värde eller ibland riktningskoefficient. Ett positivt kk-värde betyder att linjen lutar uppåt medan ett negativt kk-värde innebär att den lutar nedåt. Om kk är 00 har linjen ingen lutning och blir då horisontell.

Formeln för att beräkna kk-värdet för en linje kan skrivas på två sätt.

k=ΔyΔxellerk=y2y1x2x1 k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \quad \text{eller} \quad k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Δ\Delta är den grekiska bokstaven delta och brukar beteckna skillnad, så enligt formeln beräknar man skillnaden i yy-värde mellan två punkter på linjen, (x1,y1)(x_1,y_1) och (x2,y2),(x_2,y_2), och dividerar med skillnaden mellan xx-värdena. Vilka punkter som används spelar ingen roll, så länge de båda ligger på linjen.

Drar man i punkterna kan man se att kk-värdet för linjen är konstant även om skillnaden i xx och yy-led förändras.
Uppgift

Bestäm linjens lutning i koordinatsystemet grafiskt.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Vad är lutningen för linjen som går genom punkterna (2,1)(2,1) och (4,5)?(4,5)?

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

mm-värde

För en rät linje skriven på k-form, kan konstanten mm tolkas som ett mått på linjens förskjutning i yy-led från origo. Det läses av som det yy-värde där linjen skär yy-axeln.

Metod

Bestämma räta linjens ekvation algebraiskt

Man kan bestämma ekvationen för en linje om man vet att linjen går genom två punkter, t.ex. (2,-1)och(7,19).\begin{aligned} (2,\text{-}1) \quad \text{och} \quad (7,19). \end{aligned}

Linjens kk-värde kan bestämmas med kk-formeln. Man kan exempelvis låta (2,-1)(2,\text{-}1) vara punkt 11 och (7,19)(7,19) vara punkt 2.

(2,-1)(7,19)x1,y1 x2,y2\begin{aligned} (2,\text{-}1) \quad \quad (7,19) \\ x_1,y_1 \quad \quad \ x_2,y_2 \end{aligned}

Därefter sätter man in koordinaterna i kk-formeln.

k=y2y1x2x1k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
k=19(-1)72k = \dfrac{{\color{#0000FF}{19}} - ({\color{#009600}{\text{-}1}})}{{\color{#0000FF}{7}} - {\color{#009600}{2}}}
k=19+172k = \dfrac{19 + 1}{7 - 2}
k=205k = \dfrac{20}{5}
k=4k = 4

När man har bestämt kk-värdet sätter man in det i kk-formen. I det här fallet får man y=4x+m. y = 4x + m. Med hjälp av en av de kända punkterna, t.ex. (7,19),(7,19), kan man nu bestämma m.m. Man sätter alltså in punktens koordinater och löser ut m.m.

y=4x+my = 4x + m
x=7x={\color{#0000FF}{7}}, y=19y={\color{#009600}{19}}
19=47+m{\color{#009600}{19}} = 4 \cdot {\color{#0000FF}{7}} + m
19=28+m19 = 28 + m
28+m=1928 + m = 19
m=-9m = \text{-}9

Nu vet man både kk- och mm-värdet, och då kan man ställa upp linjens ekvation. I det här fallet blir den y=4x9.\begin{aligned} y=4x-9. \end{aligned}

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm kk- och mm-värde för de räta linjerna.


a

y=2x+3y=2x+3

b

y=-4.5x12y=\text{-}4.5x-12

c

y=x+1y=x+1

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beskriv med ord hur graferna till följande linjära funktioner ser ut i ett koordinatsystem.


a

y=3x9y=3x-9

b

y=-2x+5y=\text{-}2x+5

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bestäm förändringen i xx- och yy-led från punkt AA till punkt BB i nedanstående graf.

b

Bestäm grafens kk-värde.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Rita den räta linje som går genom punkterna (3,6)(3,6) och (-2,1)(\text{-} 2,1) i ett koordinatsystem.

b

Bestäm linjens lutning.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna riktningskoefficienten för den linje som går genom följande par av punkter.


a

(8,5)(8,5) och (2,2)(2,2)

b

(-2,1)(\text{-} 2,1) och (0,-4)(0,\text{-} 4)

c

(1,-1)(1,\text{-} 1) och (2,-6)(2,\text{-} 6)

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (4,3)(4, 3) och (6,7).(6, 7).
Nationella provet HT13 2a
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm ekvationen till den räta linje som har ritats ut i nedanstående koordinatsystem.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om följande räta linjer har ett kk-värde som är positivt, negativt, noll eller om kk-värde saknas.

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita graferna till de räta linjer i ett koordinatsystem genom att tolka deras kk- och mm-värde.

a

y=3x1y=3x-1

b

y=-2x+4y=\text{-}2 x+4

c

y=-x3y=\text{-} x-3

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita graferna till de räta linjerna i ett koordinatsystem genom att tolka deras kk- och mm-värde.


a

y=32xy = 3 - 2x

b

y=x2+1y = \dfrac{x}{2} + 1

c

y=-3y = \text{-} 3

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan


a

Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren.

b

Rita i koordinatsystemet en rät linje med riktningskoefficienten k=-1k=\text{-}1.

Nationella provet VT12 2b/2c
1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sonny är på besök i Umeå. Under besöket planerar han att göra några resor med den lokala bussen. På bussbolagets hemsida kan han läsa om biljettpriser för ungdomar i åldern 7197-19 år.

Tabell uppg11 NP 2a HT13.svg

Vid köp av ett kort som laddas med xx stycken resor blir den totala kostnaden yy kronor.

a

Ange ett linjärt samband mellan den totala kostnaden yy kronor och xx stycken resor.

b

Sonny funderar på att köpa ett rabattkort. Hur många resor måste Sonny minst åka för att det ska löna sig att köpa rabattkortet istället för att köpa enkelresor?

Nationella provet HT13 2a
1.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rät linje går genom punkterna (0,2)(0,2) och (4,0).(4,0).

a

Rita linjen i koordinatsystemet.

b

Ange linjens ekvation.

Nationella provet bedömningsexempel 2b/2c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En linjär funktion kan skrivas på formen y=kx+m.y=kx+m. Bestäm kk- och mm-värde för följande funktioner.


a

y=-xy=\text{-} x


b

y=2x3+9y=\dfrac{2x}{3}+9


c

y=4x2+7y=4x^2+7

d

y=317xy=3-\dfrac{1}{7}x

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två räta linjer, L1L_1 och L2L_2, har ritats i koordinatsystemet nedan. Ange linjernas ekvationer på kk-form.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rät linje går igenom punkterna (2,-3)(2,\text{-}3) och (4,7)(4,7). Bestäm algebraiskt linjens ekvation på kk-form.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Punkterna (-4,2)(\text{-}4,2), (3,9)(3,9) och (20,y)(20,y) ligger längs en rät linje. Bestäm yy algebraiskt.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet syns en rät linje. Bestäm linjens ekvation.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Jonas menar att de tre punkterna (-6,-1)(\text{-} 6,\text{-} 1), (3,4)(3,4) och (10,8)(10,8) ligger på samma räta linje.


a

Beskriv två metoder som Jonas kan använda för att undersöka om punkterna ligger på samma linje.

b

Ligger punkterna på samma linje? Använd en av metoderna för att undersöka detta.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Anna har 77 km att cykla från hemmet till skolan. Vanligtvis cyklar hon med hastigheten 0.350.35 km/min. Teckna en funktion som anger hur lång sträcka yy km hon har kvar till skolan då hon cyklat i xx minuter.

Nationella provet VT12 2b/2c
2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
En rät linje har lutningen k=3.5k = 3.5 och går genom punkten (2,5).(2, 5). Går linjen även genom en punkt med yy-koordinaten -500?\text{-}500? Motivera ditt svar.
Nationella provet HT13 2a
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv ekvationerna på kk-form.


a

3x+9=3y3x+9=3y


b

2y=x682y=\dfrac{x}{6}-8

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet har en punkt som ligger på linjen till funktionen y=8x+my = 8x + m markerats. Bestäm koordinaterna för denna punkt. aa är en konstant.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Linjen y=3x+my = 3x + m går igenom punkterna (-3,6)(\text{-}3,6) och (2b,b)(2b,b). Ange xx- och yy-koordinaten i punkten (2b,b)(2b,b).

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

I vilken punkt skärs yy-axeln av linjen y=kx+my = kx + m?

b

I vilken punkt skärs xx-axeln av linjen y=kx+my = kx + m?

c

Bestäm skärningspunkterna med xx- och yy-axeln för linjen y=-4x+8.y = \text{-} 4x + 8.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka villkor måste gälla för att en rät linje ska skära både den positiva delen av xx-axeln och den positiva delen av yy-axeln?

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I tabellen visas koordinaterna för fyra olika punkter som alla ligger på samma räta linje.

Punkt xx yy
Nr 1 z9 z-9 h+1 h+1
Nr 2 2+a 2+a 3+b3+b
Nr 3 u+2 u+2 8b8-b
Nr 4 4+a 4+a 9+b9+b


a

Bestäm linjens kk-värde.

b

I vilken punkt skär funktionen yy-axeln om du vet att punkten (b+1,3b)(b+1,3b) ligger på linjen?

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att en lodrät linje inte kan skrivas på formen y=kx+my = kx + m.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}