Välj kapitel {{ courseTrack.signature }} Välj kurs

{{ article.chapterName }}

{{ article.displayTitle }}

Teori

Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är ett generellt sätt att lösa andragradsekvationer som innehåller en x2x^2-, xx- och konstantterm, exempelvis 3x2+18x21=0. 3x^2 + 18x - 21 = 0. Syftet med metoden är att skriva om ekvationen på formen (x+a)2=b,(x+a)^2=b, där aa och bb är konstanter. Man kan då dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut x.x.

Samla x2x^2- och xx-termerna i vänsterledet och konstanttermerna i högerledet. I exemplet ger detta 3x2+18x=21. 3x^2 + 18x = 21. För att x2x^2-termen ska få koefficienten 1 divideras båda led med 33: x2+6x=7. x^2 + 6x = 7.

Målet är alltså att skriva ena ledet på formen (x+a)2.(x+a)^2. Parentesen kan utvecklas med kvadreringsregeln: (x+a)2=x2+2ax+a2.\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+2ax+a^2. \end{aligned} Detta jämförs med ekvationen i exemplet. (x+a)2=x2+2ax+a2x2+26x+a2=7.\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+{\color{#0000FF}{2a}}x+a^2\\ &\,x^2+\phantom{2}{\color{#0000FF}{6}}x\,\phantom{+a^2}\,=7. \end{aligned} I den nedre ekvationen finns en x2x^2-term och en xx-term, men ingen konstantterm, så för att de ska stå på samma form vill man lägga till a2.a^2. Vad är a?a? Koefficienten framför xx är 2a,2a, vilket betyder att aa är hälften av det. Konstanten aa är alltså 62=3\frac{6}{2}=3 och därför lägger man till 32.3^2. För att likheten ska gälla görs detta i båda led: (x+a)2=x2+2ax+a2x2+ 6x +32=7+32.\begin{aligned} (x+a)^2=&\,x^2+2ax+{\color{#009600}{a}}^2\\ &\,x^2+\ 6x\ \, +{\color{#009600}{3}}^2\,=7+{\color{#009600}{3}}^2. \end{aligned} Man säger att man lägger till "halva koefficienten framför x,x, i kvadrat" och det är detta som är själva kvadratkompletteringen.

Anledningen till att man lade till 323^2 i förra steget är att vänsterledet ska kunna faktoriseras med första kvadreringsregeln baklänges.

x2+6x+32=7+32x^2+6x+3^2=7+3^2
Dela upp i faktorer
x2+2x3+32=7+32x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=7+3^2
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(x+3)2=7+32(x+3)^2=7+3^2

Nu kan man dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte att lägga till ±\pm framför rottecknet.

(x+3)2=7+32(x + 3)^2 = 7 + 3^2
(x+3)2=7+9(x + 3)^2 = 7 + 9
(x+3)2=16(x + 3)^2 = 16
x+3=±16x + 3 = \pm\sqrt{16}
x+3=±4x + 3 = \pm 4
x=-3±4x = \text{-} 3 \pm 4
x1=-7x2=1\begin{array}{l}x_1 = \text{-}7 \\ x_2 = 1 \end{array}

Andragradsekvationen har alltså lösningarna x=-7x=\text{-}7 och x=1.x=1.

Kvadratkomplettering kan även motiveras geometriskt med hjälp av areor.

Exempel

Lös andragradsekvationen med kvadratkomplettering

Uppgifter