Funktioner

Funktioner

Teori

Funktion

En funktion är en omvandlingsregel. Man sätter in ett värde som via regeln (även kallat funktionsuttrycket) skapar ett nytt värde. Invärdet brukar kallas xx (oberoende variabel) medan utvärdet brukar kallas yy eller f(x)f(x) (beroende variabel).

Välj x-värde:
x=-9x=\text{-9}

x=-2x=\text{-2}

x=0x=0

x=3x=3

x=7x=7

Omvandlingsregeln här kan tolkas i ord som "addera 3". Utvärdet yy bildas alltså genom att addera 3 till invärdet x.x. För att en regel ska få kallas en funktion får varje xx som mest ge ett yy-värde. Däremot får samma yy-värde återkomma för flera olika x.x.

Definitionsmängd

Definitionsmängden, Df,D_f, är alla de tal som är "tillåtna" att sätta in i en funktion f.f. Det finns framförallt två skäl till att tal blir "förbjudna" och utesluts ur definitionsmängden:

  • Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. -1\sqrt{\text{-}1} eller 20.\frac{2}{0}.
  • Funktionen beskriver en viss situation. T.ex. kan en funktion som beskriver priset för att köpa xx äpplen inte användas för att beräkna vad -5\text{-}5 äpplen kostar.
Definitionsmängden är ofta ett intervall, t.ex. x0x \geq 0 som gäller för f(x)=xf(x)=\sqrt{x} eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.

Exempel

Vad är funktionens definitionsmängd?

Värdemängd

Värdemängden, Vf,V_f, är alla de yy-värden som kan skapas av en funktion ff, dvs. alla möjliga utvärden. Vissa funktioner, som y=2xy=2x, kan bilda vilket yy-värde som helst. Värdemängden är då alla y.y. Funktionen y=x2y = x^2 däremot kan inte ge några negativa yy-värden, eftersom kvadraten av ett tal alltid blir positiv. Värdemängden är då y0.y \geq 0.

Exempel

Vad är funktionens värdemängd?

Exempel

Bestäm definitionsmängd och värdemängd grafiskt

Funktionsvärde

Ett funktionsvärde är utvärdet (yy-värdet) man får från en funktion, givet ett visst invärde. Man kan t.ex. beräkna det genom att sätta in ett xx-värde i en funktion. I en graf kan man läsa av det på yy-axeln.

Exempel

Vad är funktionsvärdet?

Digitala verktyg

Rita grafer på räknare

Nollställe

En funktions nollställen anger de xx-värden som gör att funktionsvärdet blir 0.0. Nollställen kan räknas fram algebraiskt genom att sätta funktionen lika med 00 och lösa ekvationen som bildas. Grafiskt innebär det de xx-värden där grafen skär xx-axeln, eftersom yy är 00 längs hela xx-axeln. Funktionen y=x24y=x^2-4 exempelvis har två nollställen eftersom dess graf skär xx-axeln två gånger.

Exempel

Bestäm nollställen algebraiskt