Funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Den här sidan innehåller förändringar som inte är märkta för översättning.


Begrepp

Funktion

En funktion är en omvandlingsregel. Man sätter in ett värde som via regeln (även kallat funktionsuttrycket) skapar ett nytt värde. Invärdet brukar kallas xx (oberoende variabel) medan utvärdet brukar kallas yy eller f(x)f(x) (beroende variabel).
Välj x-värde:
x=-9x=\text{-9}

x=-2x=\text{-2}

x=0x=0

x=3x=3

x=7x=7

Omvandlingsregeln här kan tolkas i ord som "addera 3". Utvärdet yy bildas alltså genom att addera 3 till invärdet x.x. För att en regel ska få kallas en funktion får varje xx som mest ge ett yy-värde. Däremot får samma yy-värde återkomma för flera olika x.x.
Begrepp

Definitionsmängd

Definitionsmängden, Df,D_f, är alla de tal som är "tillåtna" att sätta in i en funktion f.f. Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.

  • Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. -1\sqrt{\text{-}1} eller 20.\frac{2}{0}.
  • Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för xx äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad -5\text{-}5 äpplen kostar.
Definitionsmängden är ofta ett intervall. Det gäller exempelvis för funktionen f(x)=xf(x)=\sqrt{x} som har definitionsmängden x0x \geq 0 eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.
Uppgift

Ange definitionsmängden för funktionen f(x)=4xx1. f(x)=\frac{4x}{x-1}.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Värdemängd

Värdemängden, Vf,V_f, är alla yy-värden som kan skapas av en funktion f.f. Vissa funktioner, t.ex. y=2xy=2x, kan bilda alla funktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda vissa funktionsvärden. Exempelvis har funktionen y=x2y = x^2 värdemängden y0y \geq 0 eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.
Uppgift

Bestäm värdemängden för funktionen y=x27. y=x^2-7.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bestäm definitions- och värdemängd för funktionen f(x)f(x) grafiskt, dvs. genom avläsningar i figuren.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Funktionsvärde

Ett funktionsvärde är utvärdet (yy-värdet) man får från en funktion, givet ett visst invärde. Man kan t.ex. beräkna det genom att sätta in ett xx-värde i en funktion. I en graf kan man läsa av funktionsvärdet på yy-axeln.

Uppgift

Nedan syns grafen till funktionen g(x)=2x5.g(x)=2x-5. Bestäm g(4)g(4) och g(300).g(300).

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Nollställe

En funktions nollställen anger de xx-värden som gör att funktionsvärdet blir 0.0. Nollställen kan bestämmas algebraiskt genom att man sätter funktionsuttrycket lika med 00 och löser ekvationen. Grafiskt motsvarar det de xx-värden där grafen skär xx-axeln, eftersom yy är 00 längs hela xx-axeln. Exempelvis har funktionen y=x24y=x^2-4 två nollställen eftersom dess graf skär xx-axeln två gånger.

Uppgift

Vilka nollställen har funktionen y=x24?y=x^2-4?

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En linjär funktion beskrivs av funktionsuttrycket y=3x2.y = 3x - 2.


a

Beräkna yy när x=0.x = 0.

b

Beräkna yy när x=-2.x = \text{-}2.

c

Lös ekvationen y=7.y = 7.

d

Rita grafen till funktionen med hjälp av räknarens grafverktyg.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En funktion f(x)f(x) beskrivs av f(x)=5x2. f(x) = 5x - 2. Beräkna

a

f(1).f(1).

b

f(0).f(0).

c

f(-3).f(\text{-}3).

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm f(3)f(3) om f(x)=3x22x+5.f(x)=3x^2-2x+5.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En funktion f(x)f(x) ges av f(x)=x22x+5. f(x) = x^2 - 2x + 5. Beräkna

a

f(3)f(3)

b

f(0)f(0)

c

f(-3)f(\text{-} 3)

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kan kurvan beskrivas med en funktion?

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet är grafen till funktionen f(x)f(x) ritad.

För vilka värden på xx är f(x)=0f(x) = 0?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen till andragradsfunktionen f(x)f(x) är ritad i koordinatsystemet.


a

Vilka är funktionens nollställen?

b

Välj rätt tecken mellan f(x)f(x) och 3 i uttrycket f(x)3 f(x) \quad \quad 3 för att beskriva funktionens värdemängd. Välj mellan: ,=\leq, = eller .\geq.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren nedan finns graferna till tre funktioner utritade.


a

Para ihop graferna med följande definitionsmängder.

  1. -2<x3\quad \text{-} 2 < x \leq 3
  2. -6x2\quad \text{-} 6 \leq x \leq 2
  3. \quadAlla xx


b

Para ihop graferna med följande värdemängder.

  1. -3y4\quad \text{-} 3 \leq y \leq 4
  2. -3y6\quad \text{-} 3 \leq y \leq 6
  3. \quadAlla yy
1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En funktion beskrivs av g(x)=2x53. g(x)=\dfrac{2x}{5}-3.

a

Bestäm g(5).g(5).

b

Lös ekvationen g(x)=5.g(x)=5.

c

I vilken punkt skär funktionens graf yy-axeln?

d

Hur mycket ökar funktionsvärdet om xx-värdet ökar med 1?

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd räknaren till följande uppgifter.

a

Rita funktionerna

y=x2+3x6,y=-0.7x2,y=5xy=4\begin{aligned} y&=x^2+3x-6, \\ y&=\text{-}0.7x-2, \\ y&=5x \\ y&=4 \end{aligned} i samma koordinatsystem.

b

Rita endast funktionen y=x2+3x6y=x^2+3x-6 i koordinatsystemet, utan att radera övriga funktioner från plot-listan.

c

Rita alla funktioner utom y=x2+3x6,y=x^2+3x-6, men radera inte denna från plot-listan.

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm funktionsvärdet yy för följande xx-värden för funktionen y=x2+2.y=x^2+2. Använd räknarens "value"-funktion.

a

x=1x=1

b

x=3.25x=3.25

c

x=-1.75x=\text{-}1.75

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar grafen till funktionen f(x).f(x).


a

Bestäm f(-1.5).f(\text{-}1.5).

b

Lös ekvationen f(x)=1.f(x)=1.

c

Stämmer det att f(1)=0?f(1)=0?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm den beroende och oberoende variabeln i följande situationer:


a

Kaffekostnaden per dag och antalet koppar kaffe man köper.

b

En persons ålder och längd.

c

Kostnaden för ett paket mjölk och efterfrågan på mjölk.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Om det är falskt, ange korrekt definitions-/värdemängd.


a

y=-4xy = \text{-}4x \quad har definitionsmängden DfD_f: alla x.x.

b

y=1xy = \dfrac{1}{x} \quad har definitionsmängden DfD_f: x>0.x \gt 0.

c

y=x2y = x^2 \quad har värdemängden VfV_f: y0.y \leq 0.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet är hela grafen till f(x)f(x) ritad. Ange funktionens värdemängd med olikhetstecken.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Pontus har ett deltidsarbete vid sidan av studierna. Hans lön beror på antalet timmar han arbetat och lönen är 80 kr per timme. Enligt arbetsplatsens regler får han dock arbeta som mest tjugo timmar per vecka.


a

Ställ upp en funktion p(t)p(t) som beskriver Pontus lön i kronor för en vecka om han arbetar tt timmar.

b

Ange definitionsmängden.

c

Ange värdemängden.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förklara skillnaden mellan följande begrepp.


a

Funktion och ekvation

b

Ekvation och olikhet

c

Funktion och uttryck

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förklara varför g(x)9x+7g(x)\leq 9x+7 inte är en funktion.

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av följande alternativ är funktioner?

A. 3x+23x+2
B. 3x=23x=2
C. y=3x+2y=3x+2
D. y<3x+2y<3x+2
E. f(x)=3x+2f(x)=3x+2

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En graf beskrivs av funktionen y=-2x+1.y = \text{-} 2x + 1. Ligger följande punkter på denna graf?

a

(-3,7)(\text{-} 3, 7)

b

(2,-2)(2, \text{-} 2)

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken definitionsmängd har funktionerna?


a

f(x)=4x1f(x) = 4x - 1

b

g(x)=1x+3g(x) = \dfrac{1}{x + 3}

c

h(x)=5xh(x) = 5\sqrt{x}

2.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren nedan visas grafen till funktionen y=f(x).y = f(x).

koordinatsystem med rät linje


a

Bestäm f(2)f(2) med hjälp av grafen.

b

Lös ekvationen f(x)=2f(x) = 2 med hjälp av grafen.

Nationella provet HT16 1b/1c (anpassad text)
2.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kalles klass ska samla in pengar till klasskassan och vill ordna ett skoldisco. De har hittat en lokal att hyra som kostar 500500 kr och en DJ med musikanläggning som kostar 15001500 kr. De tänker sälja biljetter för 5050 kr/st.

a

Hur stor vinst gör klassen om de lyckas sälja 100100 biljetter?

b

Ange en funktion V(x)V(x) som visar klassens vinst/förlust efter xx antal sålda biljetter.

c

På discot kommer maximalt 200200 betalande gäster. Bestäm funktionens värdemängd.

Nationella provet HT16 1b/1c (anpassad text)
2.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken av följande grafer visar sambandet mellan cirkelns omkrets och dess radie?

Nationella provet VT05 MaA
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange funktionernas värdemängd. Kontrollera dina svar med en grafritande räknare.

a

f(x)=3x2f(x) = 3x^2

b

g(x)=-x2+1g(x) = \text{-} x^2+1

c

h(x)=2+xh(x) = 2 + \sqrt{x}

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen ff är definierad som f(x)=x+-x.f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{\text{-} x}. Vad är funktionens definitionsmängd?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet på kvoten f(x+0.01)f(x)0.01 \dfrac{f(x+0.01)-f(x)}{0.01} om du vet att f(x)=26x.f(x)=2-6x.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När du tecknar ett medlemskap på ett gym betalar du 200 kr för medlemskortet. Därefter betalar du 150 kr varje gång du tränar.


a

Beskriv den totala kostnaden med en funktion f(x),f(x), där xx är antalet gånger du tränar.

b

Ange definitionsmängden till f(x).f(x).

c

Tillhör 1500 värdemängden?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två funktioner f(x)f(x) och g(x)g(x) är inversa om f(g(x))=g(f(x))=x. f(g(x))=g(f(x))=x. Avgör om följande par av funktioner är inversa.


a

f(x)=2x+5f(x)=2x+5 och g(x)=x52g(x)=\dfrac{x-5}{2}

b

f(x)=xx2f(x)=\dfrac{x}{x-2} och g(x)=x2g(x)=x-2

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräknar vi 4\sqrt{4} på en räknare får vi 2 eftersom 22=42 \cdot 2 = 4. Men (-2)(-2)(\text{-}2) \cdot (\text{-}2) är ju också 4. Varför svarar inte då räknaren med ±2\pm 2 när vi beräknar 4\sqrt{4}?

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en triangel är vinklarna angivna.


a

Skriv yy som en funktion av x.x.

b

Ange funktionens värdemängd.

Nationella provet VT12 1b/1c
3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En istapp har volymen V(t) cm3,V(t) \text{ cm}^3, där tt är tiden i minuter efter klockan 08:00. Klockan 09:00 har istappen volymen 21 cm3.21 \text{ cm}^3. Använd funktionen V(t)V(t) och skriv detta påstående med matematiska symboler.

Nationella provet HT16 1b/1c
3.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Anton ska jämföra kostnaden för att trycka reklamblad. Digitaltryckeriet tar en startkostnad på 2020 kronor och sedan 2424 öre per kopia. Tryckservice AB tar ingen startkostnad men tar 3636 öre per kopia.

Antal kopior 100100 500500
Kostnad hos Digitaltryckeriet
Kostnad hos Tryckservice AB
a

Skriv av tabellen och fyll i de värden som saknas. Endast svar krävs.

b

Anton har fått 320320 kronor att använda till tryckkostnader. Hur många kopior från Digitaltryckeriet får han för denna summa?

c

Beskriv med en formel kostnaden för tryckning av xx reklamblad hos Digitaltryckeriet.

d

Hur många kopior måste man minst låta trycka för att Digitaltryckeriet ska bli billigare än Tryckservice AB?

Nationella provet VT10 MaA
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi har tre funktioner:

  • f(x)=6x+24f(x)=6x+24
  • g(x)=5xmg(x)=5x-m
  • h(x)=6x+2h(x)=6x+2

Bestäm mm om man vet att g(h(x))=f(g(x)).g(h(x))=f(g(x)).

4.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om f(x)=1+x1f(x)=\sqrt{1+x}-1 och g(x)=x2+2xg(x)=x^2+2x är så kallade inversa funktioner, dvs. om någon av följande likheter gäller: f(g(x))=xg(f(x))=x. \begin{aligned} f(g(x))&=x \\ g(f(x))&=x. \end{aligned} Egentligen finns det fler villkor för att två funktioner ska vara inversa, men vi behöver inte ta hänsyn till dem här.

4.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har funktionen f(x)=ax+bf(x)=ax+b där aa och bb är reella tal. Bestäm f(x)f(x) om du vet att f(f(f(x)))=8x+21. f(f(f(x)))=8x+21.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}