Trigonometri

Cirkelns ekvation

Teori

Många geometriska former, t.ex. räta linjer och parabler, kan beskrivas av funktioner i koordinatsystem. Är det även möjligt att beskriva en cirkel på detta sätt?

Eftersom nästan varje xx-värde på en cirkel kommer att ge två yy-värden kan man inte uttrycka den som en funktion. Istället utnyttjar man att cirklar består av alla punkter som ligger på ett visst avstånd från medelpunkten.

Figur som visar hur punkter på samma avstånd från en medelpunkt bildar en cirkelrand till en cirkel
Genom att ställa upp en ekvation som endast gäller för dessa punkter får man ett samband som beskriver cirkeln.

Cirkelns ekvation

Figuren visar en cirkel med radien rr och medelpunkten (a,b).(a,b).

Samtliga punkter (x,y)(x,y) på cirkelns rand uppfyller följande ekvation som kallas cirkelns ekvation.

(xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Alla cirklar kan beskrivas på detta sätt, och känner man till ekvationen för en given cirkel kan man använda den för att bestämma medelpunkten och radien. Exempelvis beskriver ekvationen (x3)2+(y2)2=42(x-3)^2+(y-2)^2=4^2 en cirkel med medelpunkt i (3,2)(3,2) och radie 4.4.

Härledning

(xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Exempel

Bestäm cirkelns medelpunkt och radie

Exempel

Bestäm cirkelns ekvation