Yttervinkel- och kordasatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Yttervinkel

Om man förlänger en sida i en geometrisk figur bildas en yttervinkel. Exempelvis är den blå vinkeln i figuren en yttervinkel till triangeln. Den är dessutom sidovinkel till den röda.

Yttervinkel till triangel
Regel

Yttervinkelsatsen

Enligt yttervinkelsatsen är en yttervinkel till en triangel lika stor som summan av de motstående inre vinklarna i triangeln.
Alt=Illustration av yttervinkelsatsen

För vinklarna i figuren ger alltså yttervinkelsatsen följande samband.

y=u+vy = u + v
Detta kan bevisas med vinkelsumman i triangeln.
Uppgift

Bestäm vinkel uu med yttervinkelsatsen.

Triangel med känd yttervinkel
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Korda

En rät linje som går från en punkt på en cirkels rand till en annan punkt på randen kallas korda.

Cirkel med två kordor
En korda genom cirkelns mittpunkt kallas för diameter.
Regel

Kordasatsen

När två kordor skär varandra delas de i fyra kortare sträckor: a,a, b,b, cc och dd.

Cirkel med två kordor som skär varandra

Förhållandet mellan längderna på de fyra sträckor som bildas ges av kordasatsen.

ab=cdab=cd

Produkten av den ena kordans delträckor är alltså lika med produkten den andra kordans delsträckor.
Uppgift

Vad är cirkelns radie? Måtten är i cm.

Två kordor i en cirkel, varav en är en diameter
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vv i figurerna.


a
triangel med yttervinkel
b
triangel med yttervinkel
c
likbent triangel med yttervinkel
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita en cirkel och markera medelpunkten.

a

Markera två punkter på randen. Dra en sträcka mellan punkterna. Vad kallas det du har ritat?

b

Dra en sträcka mellan två punkter på randen som passerar genom cirkelns medelpunkt. Vad kallas det du har ritat?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Rita en triangel och rita ut samtliga yttervinklar till triangeln. Hur många finns det?

b

Hur många yttervinklar har en fyrhörning?

c

Utifrån dina svar på föregående deluppgifter, bestäm antalet yttervinklar i en 1010-hörning.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Hur långa är kordorna? Måtten är i mm. Svara med en decimal.

Cirkel med två kordor
b

Hur lång är cirkelns radie? Måtten är i mm. Svara med en decimal.

Två kordor i en cirkel, ena är diameter
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm längderna av de okända sträckorna. Måtten är givna i cm.

a
Kordasatsen


b
kordasatsen
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur långa är kordorna?

cirkel med två kordor
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm x.x.


a
rätvinklig triangel med yttervinkel


b
triangel med två yttervinklar
1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I triangeln ABCABC dras en bisektris CDCD enligt figuren. Bestäm vinkeln ACB.ACB.

triangel med bisektris och rät yttervinkel
1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinkeln yy på två olika sätt.

liksidig triangel med yttervinkel
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd figuren för att bevisa yttervinkelsatsen, dvs. att y=u+v.y=u+v.

Triangel med yttervinkel och två innervinklar
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ställ upp en funktion y(x)y(x) på enklaste form utifrån vinklarna i figuren.

Triangel med två yttervinklar
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en cirkel finns det en diameter som går mellan de två punkterna AA och BB samt en korda som går mellan punkterna CC och D.D. Diametern ABAB och kordan CDCD skär varandra i punkten P.P. Man vet att sträckan APAP är 14\frac{1}{4} av ABAB och att CP=DP=1.5CP=DP=1.5 cm. Bestäm sträckan BP.BP.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm vinkeln y.y.

likbent triangel i cirkel
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur långa är kordorna?

a
cirkel med två kordor
b
cirkeln med två kordor
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren är hela den markerade yttervinkeln till fyrhörningen 284.284^\circ. Bestäm vinkeln x.x.

Två trianglar som bildar en fyrhörning, med yttervinkel
2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sträckan BDBD är en bisektris. Hur stor är vinkeln y?y?

likbent triangel med bisektris
2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I ett hörn i en triangel kan man skapa två yttervinklar. Visa att de är lika stora.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm x.x.

cirkel med kordor och yttervinkel
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

I figuren syns en regelbunden femuddig stjärna. Femhörningen inuti stjärnan är regelbunden. Visa att summan av vinklarna i stjärnans spetsar är 180.180^\circ.

regelbunden femuddig stjärna
b

Visa att summan av vinklarna i stjärnans hörn är 180180^\circ även om den inte är regelbunden.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skärningspunkterna mellan fyra kordor skapar en kvadrat. Bestäm kvadratens sidlängd.

Kvadrat skapad av skärningspunkterna mellan fyra kordor
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}