1a
Kurs 1a Visa detaljer
2. Slumpförsök i flera steg
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
Kapitel 
2. 

Slumpförsök i flera steg

Lektionen fokuserar på sannolikhetslära och statistik, särskilt i flerstegs slumpförsök. Den förklarar begrepp som oberoende och beroende händelser genom exempel som att dra kort ur en kortlek eller slå en tärning. En del av innehållet handlar om hur man beräknar sannolikheten för beroende händelser, som att dra två spader ur en kortlek. Det finns också en sektion som beskriver multiplikation av sannolikheter och hur man använder detta för att beräkna sannolikheten för kombinerade händelser. Sidan inkluderar exempel och övningar som hjälper till att förstå dessa koncept, vilket gör den användbar för studenter som studerar sannolikhetslära.
Visa mer expand_more
Inställningar & verktyg för lektion
8 sidor teori
13 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Slumpförsök i flera steg
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Oberoende händelser
  • Beroende händelser
  • Multiplikation av sannolikheter

Förkunskaper

Teori

Oberoende händelser

Två händelser och är oberoende händelser om förekomsten av en händelse inte påverkar förekomsten av den andra. Det sägs också att de är oberoende om och endast om sannolikheten att båda händelserna inträffar är lika med produkten av de individuella sannolikheterna.

Varför

Till exempel, anta att en skål innehåller tre kulor, en grön, en orange och en blå. Låt och vara händelserna att dra den gröna, blå och orange kulan, respektive.
1 orange, 1 blå och 1 grön marmor i en skål
Anta att kulorna dras en i taget och den första kulan byts ut innan den andra dragningen. Vad är sannolikheten att först dra en grön kula, och sedan en orange kula?
1 orange, 1 blå och 1 grön marmor i en skål
I det här fallet finns det möjliga utfall för att dra två kulor om kulorna dras en i taget och varje kula byts ut innan nästa dragning. Endast av dessa utfall motsvarar händelsen att dra en grön kula först och sedan en orange kula.
Därför är sannolikheten att först plocka en grön kula och sedan en orange kula
Nästa steg är att beräkna sannolikheten för varje händelse individuellt. Sannolikheten att först plocka en grön kula kan beräknas genom att dela antalet gynnsamma utfall med det totala antalet möjliga utfall. Skålen innehåller kulor totalt, varav är grön. Efter att den första dragna kulan har bytts ut finns det återigen kulor i skålen, varav är orange.
Eftersom sannolikheten för att båda händelserna inträffar är lika med produkten av de individuella sannolikheterna, är händelserna oberoende.
Teori

Beroende händelser

Två händelser och betraktas som beroende händelser om förekomsten av en av händelserna påverkar förekomsten av den andra. Om händelserna är beroende, är sannolikheten att båda händelserna inträffar lika med produkten av sannolikheten för att den första händelsen inträffar och sannolikheten för att den andra händelsen inträffar efter att den första händelsen har inträffat.

Varför

Till exempel, anta att en skål innehåller tre kulor, en grön, en orange och en blå. Låt och vara händelserna att dra den gröna, blå och orange kulan, respektive.
1 orange, 1 blå och 1 grön marmor i en skål
Anta att kulorna dras en i taget och kulorna inte byts ut. Vad är sannolikheten att först dra en grön kula och sedan en orange kula?
1 orange, 1 blå och 1 grön marmor i en skål
Som visas påverkas utfallet av den andra dragningen av utfallet av den första dragningen. Till exempel, om den orange kulan dras först, finns det inga orange kulor kvar. Därför är sannolikheten att dra en orange kula vid den andra dragningen . Som ett resultat finns det möjliga utfall för att dra två kulor om de dras en i taget och utan att bytas ut.
Av de möjliga utfallen motsvarar endast utfall att först dra den gröna kulan och sedan den orange kulan. Därför är sannolikheten för att detta inträffar .
Nästa steg är att beräkna sannolikheten för varje händelse individuellt. Sannolikheten att först plocka en grön kula kan beräknas genom att dela antalet gynnsamma utfall med det totala antalet möjliga utfall. Skålen innehåller kulor totalt, varav är grön.
Om det är givet att den första dragningen är grön, finns det fortfarande orange kula kvar i skålen. Det finns dock endast kulor kvar totalt. Därför är sannolikheten att plocka den orangea kulan, givet att den första är grön,
Sammanfattningsvis är händelserna beroende eftersom förekomsten av den första händelsen påverkar förekomsten av den andra händelsen. Detta stöds ytterligare av regeln.
Exempel

Är händelserna beroende?

Vilka av följande situationer beskriver beroende händelser?

Ledtråd

Hur många kort finns kvar i leken efter att ha dragit ett kort? Ändras tärningen efter att ha kastat den en gång? Efter att ha skrapat en vinstlott finns det vinstlott mindre tillgänglig i lotteriet.

Lösning

Vi går igenom situationerna, en i taget.

Dragning ur kortlek utan återläggning

En kortlek består av kort varav är ess, så sannolikheten att dra ett ess är Drar man ett nytt kort finns det dock bara kort kvar i kortleken, och bara av dessa är ess. Sannolikheten att få ett ess när man drar det andra kortet är då Sannolikheten för att få ess i andra dragningen påverkas alltså av resultatet från den första, vilket innebär att händelserna måste vara beroende.

Tärningskast

När man slår en tärning är sannolikheten att tärningen visar en :a. När tärningen slås andra gången har antalet sidor inte förändrats och det är fortfarande bara en av dem som har en :a. Det första kastet påverkar alltså inte sannolikheten för att få en :a i andra kastet och då är de två händelserna oberoende.

Trisslott

Ett typiskt lotteri består av ett stort antal lotter där en mindre andel av dessa är vinstlotter. Skrapar man en lott som ger vinst finns det en vinstlott färre i lotteriet. Att skrapa en vinstlott påverkar alltså både antalet lotter i lotteriet och även antalet lotter som är vinstlotter. Att få vinst på två trisslotter är därför beroende händelser.

Teori

Multiplikation av sannolikheter

När man gör flera olika slumpförsök, eller när ett upprepas, får man en kombination av händelser. Sannolikheten för att både händelse och från olika slumpförsök, inträffar får man genom att multiplicera deras individuella sannolikheter.

Bevis

Att singla slant två gånger kan ses som ett enda kombinerat slumpförsök där det finns fyra möjliga utfall:

  • krona i båda kasten
  • klave i båda kasten
  • först krona och sedan klave
  • först klave och sedan krona.

Givet detta kan man beräkna sannolikheten att få t.ex. krona i båda kasten.

För att beräkna denna sannolikhet dividerar man antalet gynnsamma utfall, alltså med det totala antalet möjliga utfall,
Man kommer dock fram till samma resultat om man multiplicerar sannolikheten för att få krona i det första kastet med sannolikheten att få krona i det andra kastet.
Vill man beräkna sannolikheten för att två händelser sker kan man alltså multiplicera sannolikheten för att den ena inträffar med sannolikheten för att den andra inträffar. Skulle händelserna vara beroende måste man dock tänka på det när man beräknar sannolikheten för den andra händelsen.
Exempel

Vad är sannolikheten för två beroende händelser?

Om man drar två kort ur en kortlek, vad är sannolikheten att båda är spader?

Ledtråd

Hur många kort finns kvar i leken efter att ha dragit ett kort?

Lösning

I en kortlek finns det kort med av varje färg (ruter, hjärter, klöver och spader) så sannolikheten att det första kortet man drar är ett spader är
Om man redan har dragit ett spader innebär det att det finns totalt kort kvar varav är spader. Då är sannolikheten att dra ytterligare ett spader
Sannolikheten att dra ytterligare ett spader är alltså beroende av vilken färg det första kortet hade. Genom att multiplicera sannolikheterna för händelserna kan vi bestämma sannolikheten för att dra två spader.

Sannolikheten för att slumpmässigt dra två spader ur en kortlek är alltså .

Övning

Hitta sannolikheten för oberoende och beroende händelser

Läs frågan noggrant för att avgöra om den handlar om att dra med återlämnande eller utan återlämnande. Tänk på vilket fall som representerar beroende händelser och vilket som representerar oberoende händelser. Beräkna sedan den angivna sannolikheten som en bråk i enkel form.

Appletet genererar slumpmässigt frågor om att dra två kulor från en påse som innehåller olika antal kulor och uppmanar till sannolikheten för vissa beroende och oberoende händelser.
Avslut

Sammanfattning

Denna lektion behandlade beroende och oberoende händelser. Att skilja mellan dessa två typer av händelser är grundläggande för att bättre beskriva sannolikheten för att flera händelser inträffar. Till exempel, anta att två kort ska dras från en vanlig kortlek och att det första är i hjärter.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Det finns två alternativ när det andra kortet dras. Det mest naturliga vore att omedelbart dra det andra kortet. Här kan vi vara säkra på att det andra kortet inte kan vara en annan i hjärter. I detta fall beror utfallet av det andra draget på det första utfallet.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Å andra sidan, om det första kortet återförs till leken och blandas, är det möjligt att dra samma kort igen. I detta fall beror inte utfallet av det andra draget på det första. Det första scenariot är en beroende händelse, medan det andra är en oberoende händelse. När man hanterar oberoende händelser kan multiplikationsregeln för sannolikhet användas.
I ekvationen ovan måste och vara oberoende händelser. Denna regel gör det möjligt att hitta sannolikheten för den sammansatta händelsen och genom att känna till sannolikheten för varje händelse, och Scenarier i verkliga livet involverar ofta sammansatta händelser, så det är viktigt att skilja mellan beroende och oberoende händelser!
Slumpförsök i flera steg
Övningar
Laddar innehåll