Slumpförsök i flera steg
{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Oberoende händelser
Beroende händelser
En beroende händelse är en händelse vars sannolikhet beror på en eller flera andra händelser. Detta visas enklast med ett exempel. Antag att man har en skål med två kulor: en röd och en lila.
Om man slumpmässigt drar en av kulorna från skålen får man antingen den lila eller den röda kulan. Om man drar en kula till, vad blir sannolikheten att den är lila? Det beror ju på vilken färg den första kulan hade. Drog man lila första gången finns det ingen lila kula kvar, utan bara den röda. Sannolikheten att dra en lila andra gången är då :
Om man däremot tog röd första gången finns nu endast den lila kulan kvar i skålen. Sannolikheten är därför 1 att dra den lila kulan: P (lila, om 1:a röd) = 1. Sannolikheten för den andra händelsen, att dra lila kula, är alltså beroende av den första.Vilka av följande situationer beskriver beroende händelser?
Multiplikation av sannolikheter
När man gör flera olika slumpförsök, eller när ett upprepas, får man en kombination av händelser. Sannolikheten för att både händelse och från olika slumpförsök, inträffar får man genom att multiplicera deras individuella sannolikheter.
Att singla slant två gånger kan ses som ett enda kombinerat slumpförsök där det finns fyra möjliga utfall:
- krona i båda kasten
- klave i båda kasten
- först krona och sedan klave
- först klave och sedan krona.
Givet detta kan man beräkna sannolikheten att få t.ex. krona i båda kasten.
För att beräkna denna sannolikhet dividerar man antalet gynnsamma utfall, alltså 1, med det totala antalet möjliga utfall, 4. Man kommer dock fram till samma resultat om man multiplicerar sannolikheten för att få krona i det första kastet med sannolikheten att få krona i det andra kastet. Vill man beräkna sannolikheten för att två händelser sker kan man alltså multiplicera sannolikheten för att den ena inträffar med sannolikheten för att den andra inträffar. Skulle händelserna vara beroende måste man dock tänka på det när man beräknar sannolikheten för den andra händelsen.
Om man drar två kort ur en kortlek, vad är sannolikheten att båda är spader?
Uppgifter
Du singlar en slant två gånger och låter vara händelsen att få en klave i första kastet och vara händelsen att få en klave i andra kastet. Är och beroende eller oberoende händelser?
Du drar två strumpor ur en byrålåda som är full av svarta och vita strumpor utan att lägga tillbaka dem. är händelsen att dra en svart strumpa första gången och är händelsen att dra en svart strumpa andra gången. Är och beroende eller oberoende händelser?
Låt vara händelsen att en aktie ökar i värde en dag och vara händelsen att aktien ökar dagen efter. Är och beroende eller oberoende händelser?
En fotbollsspelare ska skjuta två straffar. Spelarens målhistorik visar att han brukar sätta 8 av 10 straffar. Hur sannolikt är det att han missar två straffar i rad om man utgår från målstatistiken?
Vad är sannolikheten att få tre klavar när en slant singlas tre gånger? Svara i procent.
I en fruktskål finns det fyra apelsiner och sju äpplen. Mustafa tar först slumpmässigt en frukt ur skålen och sedan tar Leila en frukt slumpmässigt. Vad är sannolikheten att Leila tar ett äpple om Mustafa tar
en apelsin?
ett äpple?
På vägen hem passerar Bosse tre trafikljus, och baserat på tidigare erfarenhet vet han att sannolikheten att det kommer att vara grönt när han kommer fram till det första är , för det andra och för det tredje. Vad är sannolikheten att Bosse får grönt ljus hela vägen hem? Avrunda till hela procent.
Kaj ska fria till sin flickvän Erika. Han är väldigt nervös och vill känna sig säker på att hon svarar ja innan han frågar henne. Kaj inbillar sig att om han slumpmässigt lyckas dra tre rosor från en vas är det ett starkt tecken på att Erika svarar ja. I vasen med blommor står det lika många rosor, tulpaner och nejlikor. Vad är sannlikheten att Kaj tar tre rosor från vasen? Avrunda till hela procent.
Lyckohjulet ger vinst om det hamnar på ett primtal. Vad är sannolikheten att vinna tre gånger i rad?
Vladimir drar ett kort ur en kortlek och lägger undan det utan att titta på det. När han sedan drar ett andra kort är sannolikheten att det är spader och sannolikheten att det är en kung är
Vad kan man säga om första kortets färg, alltså om det är hjärter, spader, ruter eller klöver?
Vad kan man säga om första kortets valör?
I ett tråg ligger det gröna och röda paprikor. Vad är sannolikheten att ta röda paprikor i rad om man målar om de paprikor man tar i den andra färgen och sedan lägger tillbaka i tråget?
Georgina och Trevor ska blåsa upp ballonger och tar dem från en påse som innehåller guldfärgade och turkosa ballonger. Georgina drar först en slumpvis vald ballong och blåser upp den. Trevor tar sedan en ballong av den andra färgen och blåser upp den.
Är att Georgina drar en turkos ballong och att Trevor drar en guldfärgad ballong beroende händelser? Motivera.
Efter att Trevor har blåst upp sin ballong drar Georgina ytterligare en slumpvis vald ballong. Är att Georgina först drar en turkos ballong och sedan drar en till turkos ballong beroende händelser? Motivera.
De gröna fälten i nedanstående lyckohjul ger vinst.
Vinklarna är lika stora. Vilken vinkel bör vara om sannolikheten för två vinster i rad ska vara 1 %?
Tina suckar och säger till sin arbetskollega Henrik att sannolikheten att hennes favoritlag förlorar en match är ca 60 %. Hon fortsätter klaga och säger att av de matcher som laget inte förlorar är sannolikheten att de spelar oavgjort 70 %. Uppskatta hur många matcher laget måste spela för att komma upp i 100 vunna matcher om de fortsätter spela på samma sätt.
Oleg har två lika stora rulltårtor: en med smak av hallon och en med smak av fläder. Han placerar dessa ände till ände och sätter slumpvis ner sin hand någonstans längs med deras kombinerade längd. Den rulltårta han petar på äter han upp hälften av. Han lägger tillbaka det som blir kvar och väljer tårta igen på samma sätt. Vad är sannolikheten att Oleg får äta två bitar hallonrulltårta? Svara i hela procent.