Slumpförsök i flera steg

Begrepp

Oberoende händelser

Oberoende händelser är händelser vars sannolikheter inte beror på varandra. Om man exempelvis kastar en tärning och sedan drar ett kort ur en kortlek beror inte vilket kort man får på resultatet av tärningskastet. Därför är dessa händelser oberoende.

Begrepp

Beroende händelser

En beroende händelse är en händelse vars sannolikhet beror på en eller flera andra händelser. Detta visas enklast med ett exempel. Antag att man har en skål med två kulor: en röd och en lila.

Om man slumpmässigt drar en av kulorna från skålen får man antingen den lila eller den röda kulan. Om man drar en kula till, vad blir sannolikheten att den är lila? Det beror ju på vilken färg den första kulan hade. Drog man lila första gången finns det ingen lila kula kvar, utan bara den röda. Sannolikheten att dra en lila andra gången är då $0$ : $P (lila, om 1 : a lila) = 0 .$

Om man däremot tog röd första gången finns nu endast den lila kulan kvar i skålen. Sannolikheten är därför 1 att dra den lila kulan: P (lila, om 1:a röd) = 1. Sannolikheten för den andra händelsen, att dra lila kula, är alltså beroende av den första.

Är händelserna beroende?

fullscreen

Uppgift

Vilka av följande situationer beskriver beroende händelser?

Visa Lösning

Lösning

Vi går igenom situationerna, en i taget.

Exempel

Dragning ur kortlek utan återläggning

En kortlek består av $52$ kort varav $4$ är ess, så sannolikheten att dra ett ess är $\frac{4}{5 2} .$ Drar man ett nytt kort finns det dock bara $51$ kort kvar i kortleken, och bara $3$ av dessa är ess. Sannolikheten att få ett ess när man drar det andra kortet är då $\frac{3}{5 1} .$ Sannolikheten för att få ess i andra dragningen påverkas alltså av resultatet från den första, vilket innebär att händelserna måste vara beroende.

Exempel

Tärningskast

När man slår en tärning är sannolikheten

\frac{1}{6}

att tärningen visar en

1

:a. När tärningen slås andra gången har antalet sidor inte förändrats och det är fortfarande bara en av dem som har en

1

:a. Det första kastet påverkar alltså inte sannolikheten för att få en

1

:a i andra kastet och då är de två händelserna oberoende.

Exempel

Trisslott

Ett typiskt lotteri består av ett stort antal lotter där en mindre andel av dessa är vinstlotter. Skrapar man en lott som ger vinst finns det en vinstlott färre i lotteriet. Att skrapa en vinstlott påverkar alltså både antalet lotter i lotteriet och även antalet lotter som är vinstlotter. Att få vinst på två trisslotter är därför beroende händelser.

Regel

Multiplikation av sannolikheter

När man gör flera olika slumpförsök, eller när ett upprepas, får man en kombination av händelser. Sannolikheten för att både händelse $A$ och $B,$ från olika slumpförsök, inträffar får man genom att multiplicera deras individuella sannolikheter.

Regel

P (A och B) = P (A) \cdot P (B)

Att singla slant två gånger kan ses som ett enda kombinerat slumpförsök där det finns fyra möjliga utfall:

krona i båda kasten
klave i båda kasten
först krona och sedan klave
först klave och sedan krona.

Givet detta kan man beräkna sannolikheten att få t.ex. krona i båda kasten.

För att beräkna denna sannolikhet dividerar man antalet gynnsamma utfall, alltså 1, med det totala antalet möjliga utfall, 4. $P (Kr, Kr) = \frac{1}{4} .$ Man kommer dock fram till samma resultat om man multiplicerar sannolikheten för att få krona i det första kastet med sannolikheten att få krona i det andra kastet. $P (Kr, Kr) = P (Kr) \cdot P (Kr) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} .$ Vill man beräkna sannolikheten för att två händelser sker kan man alltså multiplicera sannolikheten för att den ena inträffar med sannolikheten för att den andra inträffar. Skulle händelserna vara beroende måste man dock tänka på det när man beräknar sannolikheten för den andra händelsen.

Vad är sannolikheten för två beroende händelser?

fullscreen

Uppgift

Om man drar två kort ur en kortlek, vad är sannolikheten att båda är spader?

Visa Lösning

Lösning

I en kortlek finns det $52$ kort med $13$ av varje färg (ruter, hjärter, klöver och spader) så sannolikheten att det första kortet man drar är ett spader är $P (Spader) = \frac{1 3}{5 2} .$ Om man redan har dragit ett spader innebär det att det finns totalt $51$ kort kvar varav $12$ är spader. Då är sannolikheten att dra ytterligare ett spader $P (Spader, om 1 : a spader) = \frac{1 2}{5 1} .$ Sannolikheten att dra ytterligare ett spader är alltså beroende av vilken färg det första kortet hade. Genom att multiplicera sannolikheterna för händelserna kan vi bestämma sannolikheten för att dra två spader.

\frac{1 3}{5 2} \cdot \frac{1 2}{5 1}

MultFrac

Multiplicera bråk

\frac{1 3 \cdot 1 2}{5 2 \cdot 5 1}

ReduceFrac

Förkorta med $13$

\frac{1 2}{4 \cdot 5 1}

ReduceFrac

Förkorta med $4$

\frac{3}{5 1}

Sannolikheten för att slumpmässigt dra två spader ur en kortlek är alltså $\frac{3}{5 1}$ .