Uppgift 1255 Sida 26

Övning ger färdighet

Ett andragradspolynom omskrivet på faktorform ser ut så här: p(x) = k(x-a)(x-b). Här är a och b polynomets nollställen. Därför kan man faktorisera genom att först bestämma nollställena och sedan bara sätta in dem i mallen ovan. Nollställena hittar vi med PQ -formeln.

p(x)= - x^2+10x+25

Substitute

p(x)= 0

0 = - x^2+10x+25

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

- x^2+10x+25 = 0

MultEqn

VL * ( - 1)=HL* ( - 1)

x^2-10x-25 = 0

UsePQ

Använd pq-formeln: p = - 10, q= - 25

x=- - 10/2± sqrt((- 10/2)^2-( - 25))

CalcQuot

Beräkna kvot

x=- ( - 5)±sqrt(( - 5)^2-( - 25))

NegNeg

- (- a)=a

x=5±sqrt(( - 5)^2+25)

CalcPow

Beräkna potens

x=5±sqrt(25+25)

SumToProdTwoTerms

a+a=2a

x=5±sqrt(2* 25)

SqrtProd

sqrt(a* b)=sqrt(a)*sqrt(b)

x = 5 ± sqrt(2) * sqrt(25)

CalcRoot

Beräkna rot

x = 5 ± sqrt(2) * 5

Kommutativa lagen för multiplikation

x = 5 ± 5sqrt(2)

StateSol

Ange lösningar

x_1 = 5 - 5sqrt(2), x_2 = 5 + 5sqrt(2)

Dessa är alltså våra värden på a och b . Vi behöver också bestämma värdet på k , men k är alltid samma som koefficienten till högstagradstermen x^2 . Den är - 1 i det här fallet, så k= - 1 .

p(x) = k(x-a)(x-b)

Substitute

k= - 1

p(x) = - 1 (x-a)(x-b)

OneMult

1* a=a

p(x) = - (x-a)(x-b)

SubstituteII

a= 5 - 5sqrt(2) och b= 5 + 5sqrt(2)

p(x) = - (x-( 5 - 5sqrt(2)))(x-( 5 + 5sqrt(2)))

Distr

Multiplicera in - 1

p(x) = - (x-5 + 5sqrt(2))(x-5 - 5sqrt(2))

Om man vill kan man även byta plats på faktorerna till: p(x) = - (x-5 - 5sqrt(2))(x-5 + 5sqrt(2)).

Vi gör som i deluppgift A och utgår från polynomets faktorform: q(y) = k(y-a)(y-b). Vi bestämmer a och b genom att sätta polynomet lika med noll och lösa ut dess nollställen med hjälp av PQ -formeln.

q(y)=2y^2-14y-36

Substitute

q(y)= 0

0=2y^2-14y-36

DivEqn

.VL /2.=.HL /2.

0=y^2-7y-18

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

y^2-7y-18 = 0

UsePQ

Använd pq-formeln: p = - 7, q= - 18

y=- - 7/2± sqrt((- 7/2)^2-( - 18))

RemoveNegFracAndNum

- - a/b= a/b

y=7/2±sqrt((- 7/2)^2-( - 18))

SubNeg

a-(- b)=a+b

y=7/2±sqrt((- 7/2)^2+18)

PowQuot

(a/b)^c=a^c/b^c

y=7/2±sqrt(49/4+18)

NumberToFrac

a = 4* a/4

y=7/2±sqrt(49/4+72/4)

AddFrac

Addera bråk

y=7/2±sqrt(121/4)

SqrtQuot

sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)

y = 7/2 ± 11/2

AddSubFrac

Lägg ihop bråk

y = - 4/2, y = 18/2

CalcQuot

Beräkna kvot

y_1 = - 2, y_2 = 9

Nollställena är alltså a= - 2 och b=9 . k -värdet är samma som kvadrattermens koefficient, dvs. 2. Vi sätter in värdena.

q(y) = k(y-a)(y-b)

SubstituteII

a= - 2 och b= 9

q(y) = k(y-( - 2))(y- 9)

SubNeg

a-(- b)=a+b

q(y) = k(y+2)(y-9)

Substitute

k= 2

q(y) = 2(y+2)(y-9)

Då har vi faktoriserat polynomet.

Polynomet är av tredje graden, så här finns tre faktorer: r(z) = k (z-a)(z-b)(z-c). Precis som tidigare vill vi sätta detta lika med noll och lösa ut. PQ -formeln kan inte användas på en tredjegradsekvation, men vi ser att alla termer innehåller ett z . Då kan detta brytas ut, och eftersom högerledet är noll kan vi använda nollproduktmetoden.

r(z)= - z^3+4z^2-3z

Substitute

r(z)= 0

0= - z^3+4z^2-3z

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

- z^3+4z^2-3z = 0

MultEqn

VL * ( - 1)=HL* ( - 1)

z^3-4z^2+3z = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

z* z^2-z* 4z+z* 3= 0

FactorOut

Bryt ut z

z(z^2-4z+3)= 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

z_1 = 0, z^2 -4z +3 = 0

Då har vi redan ett nollställe, z=0 . De andra ges av andragradsekvationen ovan. Den löser vi med PQ -formeln.

z^2 -4z +3 = 0

UsePQ

Använd pq-formeln: p = - 4, q= 3

z=- - 4/2± sqrt((- 4/2)^2- 3)

CalcQuot

Beräkna kvot

z=- ( - 2)±sqrt(( - 2)^2 -3)

NegNeg

- (- a)=a

z=2±sqrt(( - 2)^2 -3)

CalcPow

Beräkna potens

z=2±sqrt(4 -3)

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

z=2±sqrt(1)

CalcRoot

Beräkna rot

z = 2 ± 1

StateSol

Ange lösningar

z_2 = 1, z_3 = 3

Våra nollställen är alltså a=0 , b=1 och c=3 . Koefficienten till z^3 -termen är - 1 , så k= - 1 . Vi sätter in de värden vi hittat i faktorformen.

r(z) = k (z-a)(z-b)(z-c)

SubstituteII

k= - 1 och a= 0

r(z) = - 1(z- 0)(z-b)(z-c)

OneMult

1* a=a

r(z) = - (z- 0)(z-b)(z-c)

SubTerm

Subtrahera term

r(z) = - z(z-b)(z-c)

SubstituteII

b= 1 och c= 3

r(z) = - z(z- 1)(z- 3)

Polynomet faktoriseras alltså till - z(z-1)(z-3) . Detta kan också skrivas om lite genom att ta in minustecknet i någon av parenteserna. Det gör att termerna inuti byter tecken.

r(z)= - z(z-1)(z-3)

Kommutativa lagen för multiplikation

r(z)= z ( - (z-1))(z-3)

Distr

Multiplicera in - 1

r(z)= z ( - z+1)(z-3)

Kommutativa lagen för addition

r(z)= z (1-z)(z-3)

På samma sätt kan man skriva om det till r(z)= z(z-1)(3-z) .