body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Matematik 5000 4, 2011

M5

Matematik 5000 4, 2011 Visa detaljer

2. Grafer

Fortsätt till nästa delkapitel

Uppgift 3203 Sida 118

Övning ger färdighet

Vi bestämmer först y' genom att derivera funktionen y . Sen sätter vi derivatan lika med noll och löser ekvationen!

y = x^3+1.5x^2-6x+4

Derivera funktion

y' = D(x^3+1.5x^2-6x+4)

Derivera term för term

y' = D(x^3)+D(1.5x^2)-D(6x)+D(4)

D(a) = 0

y' = D(x^3)+D(1.5x^2)-D(6x)+0

Addera och subtrahera termerna

y' = D(x^3)+D(1.5x^2)-D(6x)

D(ax^n) = a* nx^(n-1)

y' = 1* 3x^(3-1) + 1.5 * 2x^(2-1) - 6 * x^(1-1)

▼

Förenkla högerled

Subtrahera term

y' = 1* 3x^2 + 1.5 * 2x^1 - 6 * 1x^0

a^1=a

y' = 1* 3x^2 + 1.5 * 2x - 6 * 1x^0

a^0=1

y' = 1* 3x^2 + 1.5 * 2x - 6 * 1(1)

Multiplicera faktorer

y' = 3x^2 + 3x - 6

y'= 0

0 = 3x^2+3x-6

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

0 = 3* x^2+3* x-3 * 2

Bryt ut 3

0 = 3 (x^2+x- 2)

.VL /3.=.HL /3.

0 = x^2+x- 2

Omarrangera ekvation

x^2+x- 2 = 0

Använd pq-formeln: p = 1, q= -2

x=- 1/2± sqrt((1/2)^2-( -2))

a-(- b)=a+b

x = - 1/2± sqrt((1/2)^2+2)

(a/b)^c=a^c/b^c

x = - 1/2± sqrt(1^2/2^2+2)

Beräkna potens

x = - 1/2± sqrt(1/4+2)

a = 4* a/4

x = - \dfrac{1}{2}\pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac 8 4}

Addera bråk

x = - \dfrac{1}{2}\pm \sqrt{\dfrac 9 4}

sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)

x = - \dfrac{1}{2}\pm \dfrac {\sqrt 9} {\sqrt 4}

Beräkna rot

x = - \dfrac{1}{2}\pm \dfrac {3} {2}

MoveNegFracToNum

Skriv minustecken i täljare

x = \dfrac {- 1} 2 \pm \dfrac {3} {2}

Lägg ihop bråk

x = \dfrac {- 1\pm 3} {2}

Ange lösningar

x_1 = \dfrac {- 1- 3} {2}, \ x_2 = \dfrac {- 1+ 3} {2}

Addera och subtrahera termerna

x_1 = \dfrac {- 4} {2}, \ x_2 = \dfrac {2} {2}

Beräkna kvot

x_1 = - 2, x_2 = 1

Kom ihåg vad detta innebär! Vi satte derivatan y' till noll, och derivatan beskriver ju lutningen. -2 och 1 är alltså x -koordinaterna till kurvans extrempunkter.

Först bestäms andraderivatan y'' genom att derivera derivatan. Sen sätter vi in våra x -värden och kollar andraderivatans tecken.

y' = 3x^2+3x-6

Derivera funktion

y'' = D(3x^2+3x-6)

Derivera term för term

y'' = D(3x^2)+D(3x)-D(6)

D(a) = 0

y'' = D(3x^2)+D(3x)-0

Subtrahera term

y'' = D(3x^2)+D(3x)

D(ax^n) = a* nx^(n-1)

y'' = 3 * 2x^1 + 3* 1x^0

a^1=a

y'' = 3 * 2x + 3* 1x^0

a^0=1

y'' = 3 * 2x + 3* 1(1)

Multiplicera faktorer

y'' = 6x+3

x= - 2

y'' = 6( - 2)+3

a(- b)=- a * b

y'' = - 12+3

Addera och subtrahera termerna

y'' = - 9

Andraderivatan är alltså negativ i punkten där x=-2 . En negativ andraderivata innebär att kurvans lutning minskar, och det betyder att x=-2 måste vara en maxpunkt och inte en minpunkt. Nu sätter vi in den andra extrempunktens x -koordinat.

y'' = 6x+3

x= 1

y'' = 6* 1+3

1* a=a

y'' = 6+3

Addera och subtrahera termerna

y'' = 9

Andraderivatan är alltså positiv i punkten där x=1 . En positiv andraderivata innebär att kurvans lutning ökar, och det betyder att x=1 måste vara en minpunkt och inte en maxpunkt.

Vi ska nu bara rita upp kurvan y = x^3+1.5x^2-6x+4 för att se om den verkligen har en maxpunkt i x= -2 och minpunkt i x=1 , som beräkningarna visade.

Det verkar som att beräkningarna stämmer!

Delkapitel länkar

Grafer och derivator s.118-119

Olika typer av grafer s.123

Kurvor och asymptoter s.127