Uppgift 4314 Sida 230

Övning ger färdighet

Vi kommer att använda Moivres formel och kubformeln för ett binom för att härleda en formel för sin3v uttryckt i termer av sinv. Först kommer vi att utveckla (cosv+isinv)^3 med hjälp av Moivres formel. (cosv+isinv)^3 ⇕ cos3v+isin3vNästa steg är att utveckla (cosv+isinv)^3 med hjälp av kvadreringsregeln. Låt oss göra det!

(cosv+isinv)^3

Skriv potens som en produkt

(cosv+isinv)^2*(cosv+isinv)

ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

(cos^2v+2icosv*sinv+i^2sin^2v)*(cosv+isinv)

IDefPow

i^2=- 1

(cos^2v+2icosv*sinv-sin^2v)*(cosv+isinv)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

cos^3v+icos^2v*sinv+2icos^2v*sinv+2i^2sin^2v*cosv-sin^2v*cosv-isin^3v

IDefPow

i^2=- 1

cos^3v+icos^2v*sinv+2icos^2v*sinv-2sin^2v*cosv-sin^2v*cosv-isin^3v

Kommutativa lagen för addition

cos^3v-2sin^2v*cosv-sin^2v*cosv+icos^2v*sinv+2icos^2v*sinv-isin^3v

AddTerms

Addera termerna

cos^3v-3sin^2v*cosv+3icos^2v*sinv-isin^3v

FactorOut

Bryt ut i

cos^3v-3sin^2v*cosv+i(3cos^2v*sinv-isin^3v)

Den imaginära delen av uttrycket som erhållits med hjälp av Moivres formel måste vara lika med den imaginära delen av uttrycket som erhållits med kvadreringsformeln. Låt oss uttrycka och förenkla detta förhållande.

sin3v=3cos^2v* sinv-sin^3v

PythTrigIdII

cos^2(v) = 1 - sin^2(v)

sin3v=3(1-sin^2v)* sinv-sin^3v

Distr

Multiplicera in 3

sin3v=(3-3sin^2v)* sinv-sin^3v

Distr

Multiplicera in sinv

sin3v=3sinv-3sin^3v-sin^3v

SubTerm

Subtrahera term

sin3v=3sinv-4sin^3v

Således, sin3v=3sinv-4sin^3v.

Vi kommer att härleda en formel för cos3v uttryckt i termer av cosv. Vi har tidigare härlett (cosv+isinv)^3. Vi kan multiplicera detta resultat med (cosv+isinv)^2 för att få (cosv+isinv)^5. Låt oss jämställa de reella delarna av båda uttrycken och förenkla.

cos3v=cos^3v-3sin^2v*cosv

Kommutativa lagen för multiplikation

cos3v=cos^3v-3cosv*sin^2v

PythTrigIdIII

sin^2(v) = 1 - cos^2(v)

cos3v=cos^3v-3cosv* (1-cos^2v)

Distr

Multiplicera in 3cosv

cos3v=cos^3v-3cosv+3cos^3v

AddTerms

Addera termerna

cos3v=4cos^3v-3cosv

Således, cos3v=4cos^3v-3cosv.

Vi kommer att härleda en formel för sin5v uttryckt i sinv med en liknande resonemang som i deluppgift a). Vi börjar med att utveckla (cosv+isinv)^5 med hjälp av Moivres formel. (cosv+isinv)^5 ⇕ cos5v+isin5vNu kommer vi att utveckla (cosv+isinv)^5. Vi har tidigare hittat (cosv+isinv)^3. Vi kan multiplicera detta resultat med (cosv+isinv)^2 för att få (cosv+isinv)^5.

(cosv+isinv)^5

Skriv potens som en produkt

(cosv+isinv)^3(cosv+isinv)^2

Substitute

(cosv+isinv)^3= cos^3v-3sin^2v*cosv+3icos^2v*sinv-isin^3v

( cos^3v-3sin^2v*cosv+3icos^2v*sinv-isin^3v)(cosv+isinv)^2

ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

(cos^3v-3sin^2v*cosv+3icos^2v*sinv-isin^3v)(cos^2v+2icosv*sinv+i^2sin^2v)

IDefPow

i^2=- 1

(cos^3v-3sin^2v*cosv+3icos^2v*sinv-isin^3v)(cos^2v+2icosv*sinv-sin^2v)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

cos^5v+2icos^4v*sinv-cos^3v*sin^2v-3cos^3v*sin^2v-6isin^3v*cos^2v+3sin^4v*cosv+3icos^4v*sinv+6i^2cos^3v*sin^2v-3isin^3v*cos^2v-isin^3v*cos^2v-2i^2sin^4v*cosv+isin^5v

IDefPow

i^2=- 1

cos^5v+2icos^4v*sinv-cos^3v*sin^2v-3cos^3v*sin^2v-6isin^3v*cos^2v+3sin^4v*cosv+3icos^4v*sinv-6cos^3v*sin^2v-3isin^3v*cos^2v-isin^3v*cos^2v+2sin^4v*cosv+isin^5v

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

cos^5v+5icos^4v*sinv-10cos^3v*sin^2v-10isin^3v*cos^2v+5sin^4v*cosv+isin^5v

Kommutativa lagen för addition

cos^5v-10cos^3v*sin^2v+5sin^4v*cosv+5icos^4v*sinv-10isin^3v*cos^2v+isin^5v

FactorOut

Bryt ut i

cos^5v-10cos^3v*sin^2v+5sin^4v*cosv+i(5cos^4v*sinv-10sin^3v*cos^2v+sin^5v)

Nu jämställer vi den imaginära delen av uttrycket som erhållits med hjälp av Moivres formel med den imaginära delen av uttrycket som erhållits genom att expandera binomen.

sin5v=5cos^4v*sinv-10sin^3v*cos^2v+sin^5v

PythTrigIdII

cos^2(v) = 1 - sin^2(v)

sin5v=5(1-sin^2v)^2*sinv-10sin^3v*(1-sin^2v)+sin^5v

Kommutativa lagen för multiplikation

sin5v=5sinv(1-sin^2v)^2-10sin^3v*(1-sin^2v)+sin^5v

ExpandNegPerfectSquare

Utveckla med andra kvadreringsregeln

sin5v=5sinv(1-2sin^2v+sin^4v)-10sin^3v*(1-sin^2v)+sin^5v

Distr

Multiplicera in 5sinv & - 10sin^3v

sin5v=5sinv-10sin^3v+5sin^5v-10sin^3v+10sin^5v+sin^5v

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

sin5v=16sin^5v-20sin^3v+5sinv

Således, sin5v=16sin^5v-20sin^3v+5sinv.

Låt oss härleda en formel för cos5v uttryckt i termer av cosv. Vi har tidigare härlett (cosv+isinv)^5 med hjälp av Moivres formel och kvadreringsregeln. Låt oss jämställa de reella delarna av båda uttrycken och förenkla.

cos5v=cos^5v-10cos^3v*sin^2v+5sin^4v*cosv

Kommutativa lagen för multiplikation

cos5v=cos^5v-10cos^3v*sin^2v+5cosv*sin^4v

PythTrigIdIII

sin^2(v) = 1 - cos^2(v)

cos5v=cos^5v-10cos^3v*(1-cos^2v)+5cosv*(1-cos^2v)^2

ExpandNegPerfectSquare

Utveckla med andra kvadreringsregeln

cos5v=cos^5v-10cos^3v*(1-cos^2v)+5cosv*(1-2cos^2v+cos^4v)

Distr

Multiplicera in -10cos^3v & 5cosv

cos5v=cos^5v-10cos^3v+10cos^5v+5cosv-10cos^3v+5cos^5v