Summan av två på varandra följande triangulära tal är ett kvadrattal.
C
Se lösningen.
Övning ger färdighet
Låt oss titta på figuren för de triangulära talen.
Vi ser att antalet kvadrater i varje figur är antalet kvadrater i den föregående figuren plus figurens platsnummer, utom för den första figuren. Till exempel har den 3:e figuren 3 fler kvadrater än den 2:a figuren. Därför matchas siffrorna av aritmetiska summor.
s_1 & = 1 s_2 & = 1+2 s_3 & = 1+2+3 s_4 & = 1+2+3+4 ... & ... s_n & = 1+2+3+...+n
Eftersom summan av de första n heltalen beräknas med s_n= n(n+1)2, är detta alltså ett uttryck för det n:te triangulära talet.
n:te triangulära talet: s_n = n(n+1)/2
Vi kommer nu att skriva ett uttryck för det n:te kvadrattalet.
Antalet kvadrater i varje figur ges av kvadraten på dess platsnummer, dvs n^2. Detta är således ett uttryck för det n:te kvadrattalet.
n:te kvadrattalet: n^2
Vi kan undersöka det genom att använda de angivna figurerna. Låt oss markera varje triangulärt tal med olika färger.
Nästa steg är att lägga till två triangulära tal efter varandra som visas i följande figur.
Vi kan märka att två på varandra följande triangulära tal bildar ett kvadrattal. Därför kan vi dra slutsatsen att summan av två på varandra följande triangulära tal är ett kvadrattal.
Vi kommer att skriva beviset algebraiskt med det uttryck vi fann i Del A. Där fann vi att det n:te triangulära talet ges av följande formel.
s_n = n(n-1)/2
Vi kan använda detta för att hitta ett uttryck för det (n-1):te triangulära talet. Vi hittar det genom att sätta in n-1 istället för n i formeln.
