body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Matematik 5000 4 Plus, 2021

M5

Matematik 5000 4 Plus, 2021 Visa detaljer

3. Tillämpningar av deriveringsreglerna

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa delkapitel

Uppgift 2303 Sida 111

Övning ger färdighet

Vi bestämmer först y' genom att derivera funktionen y . Sen sätter vi derivatan lika med noll och löser ekvationen!

y = x^3+1.5x^2-6x+4

Derivera funktion

y' = D(x^3+1.5x^2-6x+4)

Derivera term för term

y' = D(x^3)+D(1.5x^2)-D(6x)+D(4)

D(a) = 0

y' = D(x^3)+D(1.5x^2)-D(6x)+0

Addera och subtrahera termerna

y' = D(x^3)+D(1.5x^2)-D(6x)

D(ax^n) = a* nx^(n-1)

y' = 1* 3x^(3-1) + 1.5 * 2x^(2-1) - 6 * x^(1-1)

▼

Förenkla högerled

Subtrahera term

y' = 1* 3x^2 + 1.5 * 2x^1 - 6 * 1x^0

a^1=a

y' = 1* 3x^2 + 1.5 * 2x - 6 * 1x^0

a^0=1

y' = 1* 3x^2 + 1.5 * 2x - 6 * 1(1)

Multiplicera faktorer

y' = 3x^2 + 3x - 6

y'= 0

0 = 3x^2+3x-6

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

0 = 3* x^2+3* x-3 * 2

Bryt ut 3

0 = 3 (x^2+x- 2)

.VL /3.=.HL /3.

0 = x^2+x- 2

Omarrangera ekvation

x^2+x- 2 = 0

Använd pq-formeln: p = 1, q= -2

x=- 1/2± sqrt((1/2)^2-( -2))

a-(- b)=a+b

x = - 1/2± sqrt((1/2)^2+2)

(a/b)^c=a^c/b^c

x = - 1/2± sqrt(1^2/2^2+2)

Beräkna potens

x = - 1/2± sqrt(1/4+2)

a = 4* a/4

x = - \dfrac{1}{2}\pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac 8 4}

Addera bråk

x = - \dfrac{1}{2}\pm \sqrt{\dfrac 9 4}

sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)

x = - \dfrac{1}{2}\pm \dfrac {\sqrt 9} {\sqrt 4}

Beräkna rot

x = - \dfrac{1}{2}\pm \dfrac {3} {2}

MoveNegFracToNum

Skriv minustecken i täljare

x = \dfrac {- 1} 2 \pm \dfrac {3} {2}

Lägg ihop bråk

x = \dfrac {- 1\pm 3} {2}

Ange lösningar

x_1 = \dfrac {- 1- 3} {2}, \ x_2 = \dfrac {- 1+ 3} {2}

Addera och subtrahera termerna

x_1 = \dfrac {- 4} {2}, \ x_2 = \dfrac {2} {2}

Beräkna kvot

x_1 = - 2, x_2 = 1

Kom ihåg vad detta innebär! Vi satte derivatan y' till noll, och derivatan beskriver ju lutningen. -2 och 1 är alltså x -koordinaterna till kurvans extrempunkter.

Först bestäms andraderivatan y'' genom att derivera derivatan. Sen sätter vi in våra x -värden och kollar andraderivatans tecken.

y' = 3x^2+3x-6

Derivera funktion

y'' = D(3x^2+3x-6)

Derivera term för term

y'' = D(3x^2)+D(3x)-D(6)

D(a) = 0

y'' = D(3x^2)+D(3x)-0

Subtrahera term

y'' = D(3x^2)+D(3x)

D(ax^n) = a* nx^(n-1)

y'' = 3 * 2x^1 + 3* 1x^0

a^1=a

y'' = 3 * 2x + 3* 1x^0

a^0=1

y'' = 3 * 2x + 3* 1(1)

Multiplicera faktorer

y'' = 6x+3

x= - 2

y'' = 6( - 2)+3

a(- b)=- a * b

y'' = - 12+3

Addera och subtrahera termerna

y'' = - 9

Andraderivatan är alltså negativ i punkten där x=-2 . En negativ andraderivata innebär att kurvans lutning minskar, och det betyder att x=-2 måste vara en maxpunkt och inte en minpunkt. Nu sätter vi in den andra extrempunktens x -koordinat.

y'' = 6x+3

x= 1

y'' = 6* 1+3

1* a=a

y'' = 6+3

Addera och subtrahera termerna

y'' = 9

Andraderivatan är alltså positiv i punkten där x=1 . En positiv andraderivata innebär att kurvans lutning ökar, och det betyder att x=1 måste vara en minpunkt och inte en maxpunkt.

Vi ska nu bara rita upp kurvan y = x^3+1.5x^2-6x+4 för att se om den verkligen har en maxpunkt i x= -2 och minpunkt i x=1 , som beräkningarna visade.

Det verkar som att beräkningarna stämmer!

Delkapitel länkar

Derivator och grafer s.111-112

Derivator och tillämpningar s.115-116

Tillämpningar med kedjeregeln s.120