Uppgift 2234 Sida 103

Övning ger färdighet

Vi ombeds att bestämma ekvationen för tangenten till kurvan y= ln xx^2 vid punkten (1,0). För att bestämma tangentens ekvation behöver vi veta två saker.

Lutningen k för tangenten.
Koordinaterna för en punkt (x,y) där tangenten tangerar ln xx^2.

Vi vet redan att koordinaterna för punkten där tangenten tangerar kurvan är (x,y)= (1,0). Därför behöver vi bara bestämma tangentens lutning k. Låt oss först bestämma derivatan av f(x)= ln xx^2.

f(x)=ln x/x^2

Derive

Derivera funktion

f'(x)=D(ln x/x^2)

DeriveQuot

D(f/g) = D(f)* g - f* D(g)/g^2

f'(x)=D(ln(x))x^2-ln(x)D(x^2)/(x^2)^2

PowPow

(a^b)^c=a^(b* c)

f'(x)=D(ln(x))x^2-ln(x)D(x^2)/x^4

DeriveLn

D\left( \ln(x) \right) =\dfrac 1 x

f'(x)=( 1x)x^2-ln(x)D(x^2)/x^4

DeriveMonomCo

D(ax^n) = a* nx^(n-1)

f'(x)=( 1x)x^2-ln(x)(2x)/x^4

Multiply

Multiplicera faktorer

f'(x)=x-2xln(x)/x^4

Nu kan vi använda derivatan för att bestämma lutningen på tangenten vid (1,0). Vi ersätter x-koordinaten för punkten ( 1,0) i derivatan för att bestämma lutningen k.

f'(x)=x-2xln(x)/x^4

Substitute

x= 1

f'( 1)=1-2( 1)ln( 1)/1^4

Rewrite

Skriv ln 1 som 0

f'(1)=1-2(1)0/1^4

CalcPow

Beräkna potens

f'(1)=1-2(1)0/1

Multiply

Multiplicera faktorer

f'(1)=1/1

QuotOne

a/a=1

f'(1)=1

Vi fann att lutningen för tangenten är k=1. Nu kan vi skriva ekvationen för en tangent till y= ln xx^2 som har lutningen k= 1. Låt oss påminna oss om den allmänna ekvationen för en tangent. Tangentens ekvation: y=kx+b ⇔ y= 1x+b För att bestämma konstanten b kan vi ersätta koordinaterna (1,0) i denna ekvation.

y=1x+b

SubstituteII

x= 1 och y= 0

0=1( 1)+b

Neutralelementslagen för multiplikation

0=1+b

SubEqn

VL-1=HL-1

- 1 =b

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

b=- 1

Nu kan vi skriva ekvationen. Tangentens ekvation: y=1x+b ⇔ y=x - 1

I del A bestämde vi tangentens ekvation till kurvan y = ln xx^2 vid punkten (1, 0) . Tangentens ekvation: y=1x+b ⇔ y=x-1 Vi ombeds att kontrollera detta grafiskt. Låt oss rita upp funktionen y = ln xx^2 och tangenten y = x - 1 med hjälp av ett graferingsverktyg.