Uppgift 2134 Sida 88

Vi ombeds att bestämma ekvationen för en tangent till y=sin x som har lutningen 12.

För att bestämma ekvationen för tangenten behöver vi veta två saker.

1. Lutningen k för tangenten.
2. Koordinaterna för en punkt (x, y) där tangenten tangerar sin x.

Vi vet redan att lutningen är k = 12, så vi behöver bara hitta koordinaterna för en punkt (x, y) där tangenten tangerar sinuskurvan. För att hitta koordinaterna, låt oss först påminna oss om derivatan av sin x. D(sin x) = cos x Detta innebär att lutningen för tangenten till sinuskurvan vid vilken punkt som helst (x, y) ges av cos x. För att hitta var lutningen är 12, behöver vi lösa ekvationen cos x = 12. Låt oss göra det!

Observera att detta är en trigonometrisk ekvation, så den kommer att ha oändligt många lösningar. Därför finns det oändligt många tangenter som har lutningen 12.

Men vi behöver bara ekvationen för en tangent, så lösningen x= π3 är tillräcklig! Vi har att en tangent med lutningen k= 12 tangerar sinuskurvan vid x= π3.

Vi kan hitta y-koordinaten för punkten genom att ersätta x= π3 i ekvationen y=sin x.

Vi fann att tangenten har lutningen k= 12 och att den passerar genom punkten ( π3, sqrt(3)2). Låt oss påminna oss om den allmänna ekvationen för en tangent. Tangentens ekvation: y=kx+b ⇔ y= 1/2x+b För att bestämma konstanten b, kan vi ersätta koordinaterna ( π3, sqrt(3)2) i denna ekvation.

Nu kan vi skriva ekvationen för en tangent till y=sin x som har lutningen 12. Tangent Equation: y=1/2x+b ⇔ y=1/2x+ sqrt(3)/2-π/6