mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Funktioner

Linjära och exponentiella förändringar


För att beskriva verkliga fenomen, t.ex. hur en kopp te svalnar eller hur långt en häst har sprungit, kan man använda funktioner. Det finns flera olika typer av funktioner som kan beskriva sådana förlopp, exempelvis linjära funktioner och exponentialfunktioner. Med dessa kan man bl.a. uppskatta vad som kommer att hända efter en viss tid eller sträcka.

Begrepp

Proportionalitet

När man handlar lösviktsgodis beror kostnaden på hur mycket man köper. Om priset är kr/hg beräknar man den totala kostnaden genom att multiplicera med antalet hg. Om vikten i hg är ska man betala Den här typen av förhållande kallas proportionalitet. Det innebär att resultatet påverkas på samma sätt som variabeln: om man köper dubbelt så mycket godis kommer det att kosta dubbelt så mycket och så vidare.

Begrepp

Linjära förändringar

Ett proportionellt samband ger alltid om man sätter in Men om man t.ex. måste betala kr för påsen till godiset får man en liknande, men inte samma, situation. Den totala kostnaden blir då summan av påsen och godiset: Både och är exempel på linjära förändringar och de förändras alltid med lika mycket. I det här fallet är den förändringen kr för varje extra hg man köper.
fullscreen
Uppgift

Familjen Svebjörk ska hyra en stuga i Hassela under sportlovet. Kostnaden kan beskrivas av funktionen kr, där är antalet dagar som man hyr stugan. Hur mycket är kostnaden per dag? Hur skulle funktionen se ut om det även fanns en bokningsavgift på 300 kr?

Visa Lösning
Lösning

Tittar vi på funktionen ser vi att som är antalet dagar, multipliceras med talet Detta kan vi direkt tolka som att kostnaden per dag är kr. Om man ökar med alltså en dag, ökar ju den totala kostnaden med kr. Vi ser t.ex. att Om det även finns en bokningsavgift på kr måste kostnaden öka med denna summa, oavsett hur många dagar som man hyr stugan. Vi får den nya funktionen, som vi kan kalla genom att addera till

Begrepp

Exponentiella förändringar

Om man har pengar på ett sparkonto kommer dessa pengar att öka varje år enligt räntan på kontot. Sätter man t.ex. in kr på ett konto med ränta, vilket motsvarar förändringsfaktorn kommer det efter ett år att finnas Låter man pengarna vara kvar kommer de att öka med ytterligare nästa år, vilket gör att det kommer att finnas Detta är inte någon linjär förändring eftersom summan ökar med kr första året och kr andra året. Den ökar dock med lika många procent varje år, vilket kallas exponentiell förändring. Summan på kontot efter år kan beskrivas av

vilket är en exponentialfunktion.
fullscreen
Uppgift

Befolkningen i Badholmsta kommun kan beskrivas med funktionen där är antalet år efter Hur många personer bodde i kommunen enligt modellen? Med hur många procent minskar befolkningen varje år?

Visa Lösning
Lösning
är år efter Vi sätter därför in i funktionen och beräknar.
Här får vi ett långt decimaltal, men befolkning brukar anges i tusental så vi avrundar till det: År beräknas alltså befolkningen ha varit cirka personer. För att bestämma den årliga procentuella förändringen tittar vi på funktionsuttrycket igen: För varje år som går ökar exponenten, med Det betyder att varje år multipliceras befolkningen med förändringsfaktorn Den kan även skrivas som För varje år är det alltså kvar av föregående års befolkning, vilket motsvarar en årlig minskning med
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward