{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Funktioner

Linjära och exponentiella förändringar


För att beskriva verkliga fenomen, t.ex. hur en kopp te svalnar eller hur långt en häst har sprungit, kan man använda funktioner. Det finns flera olika typer av funktioner som kan beskriva sådana förlopp, exempelvis linjära funktioner och exponentialfunktioner. Med dessa kan man bl.a. uppskatta vad som kommer att hända efter en viss tid eller sträcka.

Begrepp

Proportionalitet

När man handlar lösviktsgodis beror kostnaden på hur mycket man köper. Om priset är 7.90 kr/hg beräknar man den totala kostnaden genom att multiplicera 7.90 med antalet hg. Om vikten i hg är x ska man betala
Den här typen av förhållande kallas proportionalitet. Det innebär att resultatet påverkas på samma sätt som variabeln: om man köper dubbelt så mycket godis kommer det att kosta dubbelt så mycket och så vidare.

Begrepp

Linjära förändringar

Ett proportionellt samband ger alltid 0 om man sätter in 0. Men om man t.ex. måste betala 2 kr för påsen till godiset får man en liknande, men inte samma, situation. Den totala kostnaden blir då summan av påsen och godiset:
Både 7.90x och 7.90x+2 är exempel på linjära förändringar och de förändras alltid med lika mycket. I det här fallet är den förändringen 7.90 kr för varje extra hg man köper.

Exempel

Tolka den linjära funktionen

fullscreen

Familjen Svebjörk ska hyra en stuga i Hassela under sportlovet. Kostnaden kan beskrivas av funktionen k(x)=450x kr, där x är antalet dagar som man hyr stugan. Hur mycket är kostnaden per dag? Hur skulle funktionen se ut om det även fanns en bokningsavgift på 300 kr?

Visa Lösning expand_more
Tittar vi på funktionen ser vi att x, som är antalet dagar, multipliceras med talet 450. Detta kan vi direkt tolka som att kostnaden per dag är 450 kr. Om man ökar x med 1, alltså en dag, ökar ju den totala kostnaden med 450 kr. Vi ser t.ex. att
Om det även finns en bokningsavgift på 300 kr måste kostnaden öka med denna summa, oavsett hur många dagar som man hyr stugan. Vi får den nya funktionen, som vi kan kalla f(x), genom att addera 300 till 450x.
f(x)=450x+300

Begrepp

Exponentiella förändringar

Om man har pengar på ett sparkonto kommer dessa pengar att öka varje år enligt räntan på kontot. Sätter man t.ex. in 10000 kr på ett konto med ränta, vilket motsvarar förändringsfaktorn 1.05, kommer det efter ett år att finnas
Låter man pengarna vara kvar kommer de att öka med ytterligare nästa år, vilket gör att det kommer att finnas
Detta är inte någon linjär förändring eftersom summan ökar med 500 kr första året och 525 kr andra året. Den ökar dock med lika många procent varje år, vilket kallas exponentiell förändring. Summan på kontot efter t år kan beskrivas av
vilket är en exponentialfunktion.

Exempel

Tolka exponentialfunktionen

fullscreen
Befolkningen i Badholmsta kommun kan beskrivas med funktionen
där t är antalet år efter 1985. Hur många personer bodde i kommunen 1990 enligt modellen? Med hur många procent minskar befolkningen varje år?
Visa Lösning expand_more
1990 är 5 år efter 1985. Vi sätter därför in t=5 i funktionen och beräknar.
Här får vi ett långt decimaltal, men befolkning brukar anges i tusental så vi avrundar till det:
År 1990 beräknas alltså befolkningen ha varit cirka 17000 personer. För att bestämma den årliga procentuella förändringen tittar vi på funktionsuttrycket igen:
För varje år som går ökar exponenten, t, med 1. Det betyder att varje år multipliceras befolkningen med förändringsfaktorn 0.93. Den kan även skrivas som För varje år är det alltså kvar av föregående års befolkning, vilket motsvarar en årlig minskning med
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community