body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Dashboard

Kurs 2a Visa detaljer

3. Lådagram

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

( Ma 2a , Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 6

Lådagram

Låddiagram är ett verktyg inom statistik som används för att illustrera spridningen i en datamängd. Det visar fem viktiga värden: största och minsta värde, medianen samt övre och undre kvartil. Detta diagram ger en grov uppskattning av hur spridd en datamängd är, där varje segment av diagrammet innehåller en fjärdedel av värdena. Det används ofta för att jämföra resultat mellan olika grupper, som klassresultat på ett prov. Låddiagram kan också skapas med digitala verktyg, och det finns funktioner för att beräkna kvartilavståndet, variationsbredden och andra statistiska mått. Detta verktyg är användbart för att förstå och analysera data på ett visuellt sätt, utan att behöva gå in i beräkningar.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	10 sidor teori
	26 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Lådagram

Sida av 10

Teori

Lådagram

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Percentil
Kvartil
Kvartilavstånd
Lådagram
Rita ett lådagram

Förkunskaper

Koncept

Percentil

En percentil är ett värde i en datamängd som delar in materialet i olika storlekar. Man tillskriver alltid percentiler ett index mellan 1 och 99. Exempelvis är den 10:e percentilen (P_(10)) det värde som delar in materialet så att 10 % av värdena befinner sig under P_(10) och 90 % över.

Koncept

Kvartil

Medianen delar in ett statistiskt material i två lika stora delar. Kvartiler (från ordet kvart som betyder fjärdedel) delar in ett material i fyra lika stora delar. Kvartilerna är de tre tal som avgränsar delarna, och betecknas Q_1, Q_2 och Q_3. Exempelvis delas 12 värden in i fyra delar med 3 stycken i varje.

Q_2 är alltså bara ett annat namn för medianen. Kvartilerna Q_1 och Q_3 kallas ibland även för undre och övre kvartil och bestäms genom att man bestämmer två nya medianer för de värden som är mindre respektive större än medianen.

Regel

Kvartilavstånd

Kvartilavståndet är ett spridningsmått som anger avståndet mellan den undre och övre kvartilen. Man beräknar det genom att subtrahera Q_1 från Q_3.

Kvartilavstånd=Q_3-Q_1

Exempel

Vad är kvartilerna, variationsbredden och kvartilavståndet?

Morgontrötta klubben har sammanställt data över hur många minuter deras medlemmar brukar snooza på morgonen.20 20 30 30 40 40 45 45 45 50

a Bestäm variationsbredden.

b Bestäm kvartilerna.

c Bestäm kvartilavståndet.

d Antag att varje värde representerar ett hopp på 10 percentilenheter, med start från den 10:e percentilen. Hur många värden ligger på eller under den 80:e percentilen?

Ledtråd

a Variationsbredden är skillnaden mellan det största och minsta värdet.

b Hitta medianen i datamängden &mdash: detta är Q_2. Hitta sedan medianen i den nedre och övre halvan för att få Q_1 och Q_3.

c Skillnaden mellan Q_3 och Q_1.

d Varje värde representerar 10 % av datamängden. Använd detta för att räkna hur många värden som ryms upp till den 80:e percentilen.

Lösning

a Variationsbredden är skillnaden mellan det största och minsta värdet, dvs.

50-20=30 min.

b Vi börjar med medianen, som är samma sak som Q_2. Eftersom datamängden består av 10 värden, dvs. ett jämnt antal värden, måste medianen vara medelvärdet av femte och sjätte värdet.

20 20 30 30 40_(5st.) | 40 45 45 45 50_(5st.) Det femte värdet är 40 och det sjätte värdet är också 40. Medelvärdet av dessa blir 40+402=40 vilket alltså är medianen. Nu kan vi bestämma kvartilerna genom att dela halvorna på mitten. Varje halva innehåller ett udda antal värden så kvartilerna kommer vara de värden i datamängden som delar upp varje halva i två delmängder med två tal i varje. Den undre kvartilen ges av det tredje värdet och den övre kvartilen ges av det åttonde värdet. 20 20 30 30 40_(5st.) | 40 45 45 45 50_(5st.) Nu ser vi att Q_1=30 min. och Q_3=45 min.

c Kvartilavståndet är skillnaden mellan övre och undre kvartilen, vilket är

Q_3-Q_1=45-30=15 min.

d Det finns 10 värden i datamängden, och varje representerar ett steg om 10 percentilenheter. Det första värdet är den 10:e percentilen, det andra är den 20:e, och så vidare.

Antalet värden på eller under den 80:e percentilen är 8. Dessa värden är de första 8 i den ordnade listan: 20 20 30 30 40 40 45 45.

Koncept

Lådagram

För att illustrera spridningen i ett statistiskt material använder man sig ibland av ett så kallat lådagram. I detta kan man läsa av medianen (skrivs Med eller Q_2), kvartiler (Q_1 och Q_3) samt största och minsta värde.

Ett lådagram ger en grov uppskattning av hur spridd en datamängd är eftersom varje segment av diagrammet innehåller en fjärdedel av värdena. Ju bredare segmenten är desto större spridning är det för den fjärdedelen av materialet.

Metod

Rita ett lådagram

För att kunna rita ett lådagram måste man bestämma fem mått för den datamängd man vill undersöka: största och minsta värdet, medianen samt övre och undre kvartil. Nedanstående datamängd anger poängen för en klass på ett prov.8,5, 11, 16, 12,5, 11, 15,5, 12, 7, 13, 10,5, 5, 15, 8, 9, 8, 8,5, 6 , 12, 15, 15,5, 13,5, 7,5, 13, 10,5, 11,5, 13,5 Vi identifierar de fem måtten för datamängden.

Identifiera största och minsta värdet

Först bestämmer man största och minsta värdet. 8,5, 11, 16, 12,5, 11, 15,5, 12, 7, 13, 10,5, 5, 15, 8, 9, 8, 8,5, 6 , 12, 15, 15,5, 13,5, 7,5, 13, 10,5, 11,5, 13,5 Det minsta värdet är 5 och det största är 16. Dessa markeras ovanför en tallinje.

Bestäm medianen

För att bestämma medianen skriver man talen i storleksordning. Eftersom det finns 26 värden är medianen medelvärdet av tal nr 13 och 14.1 5, 2 6, 3 7, 4 7,5, 5 8, 6 8, 7 8,5, 8 8,5, 9 9, 10 10,5, 11 10,5, 12 11, 13 11, 14 11,5, 15 12, 16 12, 17 12,5, 18 13, 19 13, 20 13,5, 21 13,5, 22 15, 23 15, 24 15,5, 25 15,5, 26 16 Nu kan medianen bestämmas genom att beräkna medelvärdet av värdena 11 och 11,5:11+11,5/2=11,25, Medianen är 11,25. Även denna markeras i lådagrammet.

Bestäm kvartilerna

Medianen delar in materialet i två delar med 13 tal i varje halva. Den undre kvartilen är mittenvärdet i den första delen, dvs. den sjunde observationen som är 8,5. Den övre kvartilen beräknas genom att bestämma medianen för den övre halvan, dvs. den tjugonde observationen som är 13,5. Även kvartilerna markeras i diagrammet och slutligen ritas en låda mellan dem.

Digitala verktyg

Använd räknare för att bestämma värden till lådagram

För att kunna rita ett lådagram måste man känna till fem olika värden: datamängdens minsta och största värde, undre och övre kvartil samt median. Dessa kan man hitta med hjälp av en räknare.

Lägg in värden i lista

För att beräkna värdena måste man först mata in de värden man vill rita lådagrammet för i räknaren. Det gör man genom att trycka på knappen STAT och sedan välja Edit... i menyn. Där kan man sedan skriva in sina datapunkter i en av listorna, t.ex. lista L1.

Om man vill ta bort ett värde kan man göra det med knappen DEL.

Bestäm värden som behövs för att rita ett lådagram

När värdena är inmatade trycker man på STAT igen och går sedan åt höger till CALC-menyn.

Välj alternativet 1-Var Stats, som används för att beräkna diverse statistiska mått för en datamängd, och tryck på ENTER. Kommandot 1-Var Stats visas då på skärmen och för att köra det, tryck på ENTER en gång till. När resultatet sedan visas, tryck nedåt för att läsa av värdena minX (minsta värde), Q_1 (undre kvartil), Med (median), Q_3 (övre kvartil) respektive maxX (största värde).

miniräknare visar minsta värde största värde median undre kvartil övre kvartil

Använd nu dessa värden för att rita ett lådagram för hand.

Exempel

Tolka lådagrammet

Bossebageriet har gjort mätningar av temperaturen på 800 koppar cappuccino. Lådagrammet visar resultatet i ^(∘)C.

En bra cappuccino ska enligt experterna ligga mellan 55 och 60 grader. Ungefär hur många av kopparna hade denna temperatur, och vad säger lådagrammet om temperaturspridningen på de koppar som var kallare respektive varmare än så?

Svar

Se lösning.

Ledtråd

Kvartiler delar in data i fyra lika stora delar, där varje del innehåller 25 % av värdena. Hur många av dessa delar omfattar den ideala temperaturen för en cappuccino? Vilken sida av diagrammet täcker ett större intervall — de kallare eller de varmare kopparna?

Lösning

Antal koppar mellan 55 och 60 grader

I varje del av lådagrammet finns 25 % av värdena. Det betyder att 50 % av värdena ligger i lådan.

Den första kvartilen ligger vid 54 grader och den tredje ligger vid 60 grader. Det betyder att ungefär 50 % av de 800 kopparna hamnade i intervallet 55-60^(∘)C: 800/2=400. Cirka 400 koppar hade alltså den önskvärda temperaturen.

Kallare och varmare koppar

Det vi kan säga om övriga koppar är att spridningen i temperatur är mycket större bland de 200 kallaste kopparna (54-39=15 ^(∘)C skillnad) än bland de 200 varmaste kopparna (5^(∘)C skillnad).

Övning

Öva på att hitta de fem sammanfattande måtten

Använd det givna lådagrammet för att hitta värdet på ett mått. Måttet som ska bestämmas kan vara minimum, maximum, Q_1, medianen (Q_2), Q_3, variationsbredden eller kvartilavståndet.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Lådagram

Uppgifter

Bestäm median samt undre och övre kvartil för datamängden utan att använda räknare.

5 6 3 1 9 5 6 8

5 1 3 0 7 0 1 2 1 6 0

Vi börjar med att skriva talen i storleksordning: 1 3 5 5 6 6 8 9 Först bestämmer vi medianen och därefter kvartilerna.

Median

Medianen delar datamängden i två lika stora halvor med fyra tal i varje. Eftersom datamängden består av ett jämnt antal värden så är inget enskilt värde i datamängden medianen. Istället beräknas medianen som medelvärdet av det fjärde och femte värdet. 1 3 5 5_(4st.) | 6 6 8 9_(4st.) Det fjärde värdet är 5 och det femte värdet är 6. Medelvärdet av dessa blir 5+62=5,5 vilket är medianen.

Kvartiler

När vi bestämt halvorna som medianen delar in datamängden i kan vi bestämma kvartilerna genom att dela dessa halvor på mitten. Även halvorna består av ett jämnt antal värden så kvartilerna kommer inte heller att vara några specifika värden i datamängden. 1 3_(2 st.) | 5 5_(2 st.) | 6 6_(2 st.) | 8 9_(2 st.) Den undre kvartilen är medelvärdet av värdena 3 och 5, dvs. 3+52=4. Den övre kvartilen är medelvärdet av värdena 6 och 8, alltså 6+82=7.

Vi sätter talen i storleksordning. 0 0 0 1 1 1 2 3 5 6 7 Först bestäms medianen och därefter kvartilerna.

Median

Denna datamängd består av 11 värden, alltså ett udda antal. Det innebär att det sjätte värdet kommer att vara medianen eftersom det delar in datamängden i två lika stora halvor med 5 värden på varje sida. 0 0 0 1 1_(5st.) 1 2 3 5 6 7_(5st.) Datamängdens median är alltså 1.

Kvartiler

Nu kan vi bestämma kvartilerna genom att dela halvorna på mitten. Varje halva innehåller ett udda antal värden så kvartilerna kommer vara de värden i datamängden som delar upp varje halva i två delmängder med två tal i varje. Den undre kvartilen ges av det tredje värdet och den övre kvartilen ges av det nionde värdet. 0 0_(2st.) 1 1_(2st.) 1 2 3_(2st.) 5 6 7_(2st.) Undre kvartilen är alltså 0 och övre kvartilen är 5.

Polisen ska undersöka hur fort bilisterna kör på en motorväg. Med hjälp av en laserpistol mäter de hastigheten på 100 bilar. Resultatet presenteras i lådagrammet.

Bestäm det minsta värdet.

Bestäm det största värdet.

Bestäm variationsbredden.

Bestäm medianen.

Bestäm undre kvartilen.

Bestäm övre kvartilen.

Bestäm kvartilavståndet.

Vi kan läsa av det minsta värdet från lådagrammet.

Det minsta värdet är 90.km /h..

Precis som i föregående deluppgift kan vi avläsa det största värdet från lådagrammet.

Det största värdet är 150.km /h..

Variationsbredden är skillnaden mellan det största och minsta värdet. De är 90.km /h. och 150.km /h., så variationsbredden blir 150-90=60 .km /h..

Medianen är mittenvärdet om talen är skrivna i storleksordning. I lådagrammet är medianen av linjen som delar lådan i två delar.

Medianen är alltså 110.

Lådans kortsidor anger kvartilerna. Första kortsidan markerar den undre kvartilen, Q_1.

Den undre kvartilen är 100.km /h..

Per samma logik som i föregående deluppgiften anger den andra kortsidan den övre kvartilen, Q_3.

Den övre kvartilen är alltså 130.km /h..

Kvartilavståndet är skillnaden mellan kvartilerna. Eftersom dessa är 100.km /h. och 130.km /h. blir det 130-100=30.km /h..

Bestäm median samt undre och övre kvartil för följande datamängd utan att använda räknarens inbyggda statistikverktyg. Kontrollera sedan dina resultat med verktyget.

38 33 26 30 28 23 31 40 26

95 92 84 89 94 84 86 99 98 90

Vi börjar med att skriva talen i storleksordning: 23 26 26 28 30 31 33 38 40 Först bestämmer vi medianen och därefter kvartilerna.

Median

Medianen delar datamängden i två lika stora delar. Eftersom datamängden består av ett nio värden kommer det femte värdet vara median. Då finns det fyra tal på varje sida. 23 26 26 28_(4st.) 30 31 33 38 40_(4st.)

Det femte värdet är 30 vilket alltså är median.

Kvartiler

Nu kan vi bestämma kvartilerna genom bestämma medianen i varje ny datamängd. De består av fyra värden så Q_1 och Q_3 beräknas genom att bestämma medelvärdet av det andra och tredje samt sjunde och åttonde värdet. 23 26_(2st) | 26 28_(2st.) 30 31 33_(2st.) | 38 40_(2st.) Den undre kvartilen är alltså medelvärdet av 26 och 26, dvs. 26+262=26. Den övre kvartilen är medelvärdet av 33 och 38, alltså 33+382=35,5.

Kontroll med räknare

För att beräkna medianen och kvartilerna matar vi in värdena i räknaren genom att trycka på knappen STAT och sedan välja Edit... i menyn. Där skriver vi in datapunkterna i en av listorna, t.ex. lista L1.

När värdena är inmatade trycker vi på STAT igen och går sedan åt höger till CALC-menyn.

Vi väljer alternativet 1-Var Stats, trycker på ENTER två gånger och klickar oss nedåt i menyn till Q1 (undre kvartil), Med (median) och Q3 (övre kvartil).

Undre kvartil är alltså 26, median är 30 och övre kvartil är 35,5, vilka är samma värden som när vi beräknade dem ovan.

Återigen sätter vi talen i storleksordning. 84 84 86 89 90 92 94 95 98 99 Först bestäms medianen och därefter kvartilerna.

Median

Mitten på datamängden är mellan det femte och sjätte talet. Därför bestäms medianen genom att beräkna medelvärdet av de värdena. 84 84 86 89 90_(5 st) | 92 94 95 98 99_(5 st) Medianen är 90+922=91.

Kvartiler

Nu kan vi bestämma kvartilerna genom att dela halvorna på mitten. Det tredje värdet är den undre kvartilen och det åttonde är den övre kvartilen. 84 84_(2st.) 86 89 90_(2 st) | 92 94_(2st.) 95 98 99_(5 st) Den undre kvartilen är 86 och den övre kvartilen är 95.

Kontroll med räknare

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift för att kontrollerna medianen och kvartilerna vi bestämt.

Vi ser då att medianen är 91, och att undre och övre kvartilerna är 86 respektive 95. Precis vad vi kom fram till tidigare.

Ett statistiskt material är fördelat så att det har de minsta och största värdena 1 och 10, medianen 4 samt undre och övre kvartilerna 2 respektive 7. Rita ett lådagram som beskriver denna fördelning.

För att rita ut ett lådagram behöver man de fem värden som är givna i uppgiften: max- och minvärde, median samt övre och undre kvartilen. Vi börjar med att rita ut en tallinje och markera det största och minsta värdet för materialet, alltså 1 och 10.

Vi markerar nu medianen, 4.

Sedan markerar vi den undre och övre kvartilen, Q_1=2 och Q_3 = 7.

Till sist gör vi klart själva lådan i lådagrammet genom att sammankoppla markeringen för medianen med markeringarna för kvartilerna.

25 elever testar sin reaktionsförmåga. Resultaten i sekunder sammanställs nedan. & 0,20 0,10 0,22 0,20 0,19 & 0,14 0,09 0,06 0,21 0,19 & 0,17 0,24 0,06 0,18 0,18 & 0,10 0,08 0,22 0,14 0,14 & 0,10 0,21 0,13 0,13 0,13 Rita ett lådagram som beskriver resultatet.

För att kunna rita lådagrammet måste vi bestämma det största och minsta värdet, medianen samt den undre och övre kvartilen. Detta kan göras med räknarens verktyg för detta eller för hand, vilket vi gör här. Vi börjar med att ordna talen i storleksordning. &0,06 0,06 0,08 0,09 0,10 &0,10 0,10 0,13 0,13 0,13 &0,14 0,14 0,14 0,17 0,18 &0,18 0,19 0,19 0,20 0,20 &0,21 0,21 0,22 0,22 0,24 Nu ser vi att det minsta och största värdet är 0,06 respektive 0,24.

Median

Medianen är det mittersta värdet och delar datamängden i två lika stora halvor. Eftersom datamängden består av 25 tal, dvs. ett udda antal tal, så kommer det trettonde talet i listan utgöra median. Vi räknar talen tills vi kommer till det trettonde. &0,06 0,06 0,08 0,09 0,10 &0,10 0,10 0,13 0,13 0,13 &0,14 0,14 0,14 0,17 0,18 &0,18 0,19 0,19 0,20 0,20 &0,21 0,21 0,22 0,22 0,24

Kvartiler

I varje halva finns det 12 tal, dvs. ett jämnt antal, så undre kvartilen beräknas som ett medelvärde av det sjätte och sjunde talet. &0,06 0,06 0,08 0,09 0,10 & 0,10 0,10 0,13 0,13 0,13 &0,14 0,14 0,14 0,17 0,18 &0,18 0,19 0,19 0,20 0,20 &0,21 0,21 0,22 0,22 0,24 Den övre kvartilen beräknas som ett medelvärde av det nittonde och tjugonde talet: Q_1=0,10+0,10/2=0,10 Q_3=0,20+0,20/2=0,20.

Lådagram

Nu har vi allt som behövs för att rita ett lådagram. Rita först en tallinje där alla värden får plats.

Börja med att markera medianen, undre och övre kvartil med tre lodräta streck vid 0,14 samt 0,10 och 0,20 lite ovanför tallinjen. Skapa en låda genom att rita ett tak och golv på strecken. Dra sedan svansar till minsta och största värdet 0,06 och 0,24.

Lådagrammet visar resultatet från ett stickprov. Stickprovet anger antalet timmar en person sov per natt under en period av 15 nätter.

Värdena i stickprovet nedan är angivna i storleksordning. Ett av värdena har ersatts med x. 3, 5, 6, 6, 7, 7, 7, x, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 13 Vilket värde har x? Motivera ditt svar.

Nationella provet VT15 2b/2c

Värdet x ser ut att vara i mitten av värdena, och räknar vi dem ser vi att det finns sex värden till vänster och sex värden till höger. Det betyder att x är medianen, alltså det mittersta värdet. Det betyder att x = 7.

Svaret är alltså x = 7.

Lådagrammen visar hur två lika stora naturklasser presterade på ett engelskprov där maxpoäng var 15.

Finns det några likheter mellan klassernas resultat? Motivera ditt svar.

Jämför de två lådagrammen ser vi att endast deras övre kvartiler är vid samma värde, 7. Det betyder att för båda klasserna hade 75 % av eleverna 7 poäng eller under, vilket också kan ses som att 25 % av dem hade 7 poäng eller över.

En annan likhet som vi kan notera är att ingen av klasserna hade någon elev som fick alla rätt. Det gick alltså rätt dåligt på provet.

Under en veckas tid observerade en fågelskådare hur många domherrar som fanns i trädet utanför hans köksfönster vid frukosten. Han antecknade följande observationsvärden: 11 3 7 8 7 5 4. Rita ett lådagram som beskriver spridningen.

Vi behöver bestämma observationernas median, undre och övre kvartil samt minsta och största värde för att kunna rita lådagrammet. Här bestämmer vi dessa värden utan räknare, men det går också att göra med räknarens verktyg för detta. Vi börjar med att skriva värdena i storleksordning. 3 4 5 7 7 8 11 Vi ser att minsta värdet är 3 och största värdet 11.

Median

Medianen är det värde som delar observationerna i två halvor, dvs. mittenvärdet. 3 4 5 7 7 8 11 I detta fall är medianen alltså 7.

Kvartiler

Undre kvartilen är mittenvärdet för de värden som är lägre än medianen och övre kvartilen är mittenvärdet för observationerna som är högre än medianen. 3 4 5 7 7 8 11 Nedre kvartilen är därför 4 och övre kvartilen 8. Nu har vi alla värden som krävs för att rita lådagrammet.

Lådagram

Vi börjar med att rita en tallinje där både minsta och största värdet får plats.

Vi ritar nu in lodräta sträck ovanför tallinjen, vid 4, 7 och 8, som markerar undre kvartil, median och övre kvartil och ritar en låda med dessa. Vid minsta värdet 3 och högsta värdet 11 ritas något kortare streck ut, och till sist drar vi streck från dessa värden till lådan.

Innan lansering av sin nya saftsmak, SAFT3000, har ett företag gjort en undersökning där 100 personer fick betygsätta saftens smak på en skala från 1 till 10. Resultatet från undersökningen redovisas i lådagrammet nedan.

Gör en uppskattning av hur många som gav betyget 3 eller högre.

Baserat på undersökningen, bör företaget lansera SAFT3000?

För att avgöra hur många som gav betyget tre eller högre gör vi en avläsning i lådagrammet. Vi ser att gränsen mellan första och andra delen av lådagrammet finns vid 3. Varje del av lådagrammet representerar 25 % av stickprovet, och i det här fallet ligger tre av dessa delar ovanför värdet 3, vilket då är 3 * 25 % = 75 % av stickprovet.

Stickprovet bestod av 100 personer, och 75 % av 100 är 75. Det var alltså ungefär 75 personer som gav saften betyget 3 eller högre.

Vi vill nu avgöra om företaget bör lansera SAFT3000, och vi gör det genom att undersöka hur betygen fördelar sig i lådagrammet. Mittmarkeringen, som anger medianen, sitter vid värdet 4 och delar in svaren så att hälften finns ovanför och hälften under. Det betyder att hälften av de som smakade på saften gav den betyget 4 eller lägre.

Det kan inte räknas som ett bra betyg för saften om hälften av de som testar den ger den ett så lågt betyg, så företaget bör nog tänka om sin lansering.

Lådagram

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan