{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Den fysiska världen är full av figurer med liknande former. Faktum är att även exakt samma former ofta hittas! Dessa figurer har några specifika matematiska egenskaper som används i olika situationer. Denna lektion introducerar begreppen kongruens och likformighet och hur de tillämpas i olika fall.
- Kongruenta figurer
- Likformiga figurer
- Motsvarande delar i likformiga figurer
- Likformiga polygoner
Förkunskaper
Utforska
Olika storlekar av papper
Tänk på relationen mellan två pappersark.
Vad är sambandet mellan numret som visas högst upp och kvoten av sidlängderna för de två pappersarken?
Teori
Kongruenta figurer
Det är möjligt för två figurer att ha samma storlek och form. Detta kan enkelt verifieras om de ligger bredvid varandra och har samma orientering.
Ibland är dock dessa figurer arrangerade på olika sätt. Även om de kan vara orienterade i olika riktningar, har de fortfarande samma storlek och form. Dessa figurer har ett särskilt namn.
Två figurer är kongruenta figurer om de har samma storlek och form. Om två figurer är kongruenta kan de överlappa varandra genom att rotera, flytta eller spegla figurerna.
Övning
Identifiering av kongruenta figurer
Tänk på olika par av figurer. Är de kongruenta figurer eller inte?
Teori
Likformighet figurer
Det är möjligt att ha två figurer som ser likadana ut men har olika storlekar.
Eftersom figurerna inte har samma storlek är de inte kongruenta figurer. Men om de har samma form, har de ändå ett särskilt namn.
Två figurer är likformiga figurer om de har samma form och förhållandena mellan deras motsvarande linjära mått är lika. Genom att krympa eller sträcka en av figurerna i ett par likformiga figurer kan kongruenta figurer erhållas.
Observera att för tvådimensionella figurer är alla kvadrater likformiga och alla cirklar likformiga. På samma sätt är för tredimensionella figurer alla kuber likformiga och alla sfärer likformiga.
Teori
Corresponding Parts of Similar Figures
Tänk på två likformiga figurer. De par som bildas av en del av den ena figuren — en sida, vinkel eller hörn — och den figur den är likformig med kallas motsvarande delar. Till exempel, i följande applet, A och P är motsvarande hörn. Eftersom alla kongruenta figurer är likformiga figurer, gäller detta även för kongruenta figurer.
Genom att klicka på varje del av ABCD identifieras den motsvarande delen på PQRS. Observera att figurerna och deras motsvarande delar kan vara antingen kongruenta eller likformiga.
| Kongruent eller likformig? | Relation |
|---|---|
| Kongruent | Motsvarande sidor och vinklar i kongruenta figurer är kongruenta. |
| Likformig | Motsvarande sidor i likformiga figurer är proportionella. Motsvarande vinklar i likformiga figurer är kongruenta. |
Teori
Egenskaper hos liknande polygoner
Två polygoner är liknande om och endast om båda följande två egenskaper uppfylls:
- Motsvarande vinklar har samma storlek.
- Motsvarande sidor är proportionella.
Tänk på ett par liknande polygoner. Notera hur båda egenskaperna gäller för dessa polygoner.
Exempel
Beundra snöflingor
När Saga gick hem från skolan började snön falla. Hon lade märke till två stora snöflingor på sina handskar.
Även om det sägs att det inte finns två identiska snöflingor, har dessa två snöflingor på Sagas handskar kongruenta former. Längden på en snöflinga mäts från spets till spets.
a Längden på den första snöflingan är 3 millimeter. Vad är längden på den andra snöflingan?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"mm","answer":{"text":["3"]}}
b Vinkeln mellan två angränsande spetsar på den första snöflingan är 60∘. Vad är storleken på den motsvarande vinkeln på den andra snöflingan?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["60"]}}
Ledtråd
a Använd definitionen av kongruenta figurer.
b Kongruenta figurer har samma storlek och form.
Lösning
a De två snöflingorna på Sagas handskar ges som kongruenta. Kongruenta figurer har samma storlek och form. Tänk på diagrammet som visar de två snöflingorna.
Använder bild av: @rawpixel.com
Längden på den första snöflingan är 3 millimeter. Eftersom snöflingorna är kongruenta, måste längden på den andra snöflingan också vara 3 millimeter.
Använder bild av: @rawpixel.com
b Den här gången måste storleken på en vinkel på den andra snöflingan hittas. Återigen, börja med att analysera utseendet på båda snöflingorna.
Använder bild av: @rawpixel.com
Kongruensen hos snöflingorna innebär att de är identiska och har samma längder och vinkelmått. Det betyder att den motsvarande vinkeln på den andra snöflingan har samma mått på 60∘.
Använder bild av: @rawpixel.com
Exempel
Besöka ett galleri
Molly gick till MathimARTical Gallery, som presenterar konstverk som på något sätt är relaterade till matematik. Ett rum var dedikerat till liknande och kongruenta former.
För att hitta skalfaktorn från den mindre ramen till den större, dela 126 med 168 och förenkla kvoten.
Beräkna skalfaktorn genom att dela 18 med 30 och förenkla.
a De två bildramarna som visar fotavtryck och blad har liknande former. Bredden på den större ramen är 168 centimeter och bredden på den mindre ramen är 126 centimeter. Vad är skalfaktorn från den mindre ramen till den större? Skriv svaret som ett decimaltal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,75"]}}
b Vissa blad på bilden i den mindre ramen har också liknande former. Längden på det vänstra mindre röda bladet är 18 centimeter och längden på ett större rött blad är 30 centimeter. Vad är skalfaktorn från det mindre bladet till det större bladet? Skriv svaret som ett decimaltal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,6"]}}
Ledtråd
a Använd definitionen av en skalfaktor.
b Dela längden på ett blad med längden på det andra bladet.
Lösning
a Börja med att påminna dig om definitionen av en skalfaktor.
|
Skalfaktor |
|
En skalfaktor för två liknande figurer är kvoten av måttet på en figur och måttet på den andra figuren. |
Bredden på den större ramen är 168 centimeter och bredden på den mindre ramen är 126 centimeter.
Scale Factor=168126=0,75
Därför är skalfaktorn mellan den mindre och större ramen 0,75.
b Skalfaktorn från det mindre bladet till det större bladet måste hittas. Det mindre bladet är 18 centimeter långt och det större bladet är 30 centimeter långt.
Skalfaktor=3018=0,6
Skalfaktorn från det mindre bladet till det större bladet är 0,6.
Exempel
Spelens rum
Alex gick till en brädspelsutställning. Hen märkte vackert utformade schackset och spelkort. Korten och schackseten kommer i olika storlekar och färger. Alex insåg snabbt syftet med utställningen — likheter och kongruens i former visas genom olika spel.
a De två bönderna är likformiga figurer med en skalningsfaktor från den större till den mindre bonden på 1,5. Om höjden på den mindre bonden är 5,8 centimeter, vad är höjden på den större bonden?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["8,7"]}}
b Ruter dam och Ruter fyra har likformiga former med en skalningsfaktor från det mindre kortet till det större kortet på 0,9. Om den översta vinkeln på rutan på det mindre kortet är 72∘, vad är den översta vinkeln på rutan på det större kortet?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["72"]}}
Ledtråd
a Multiplicera skalningsfaktorn med höjden på den mindre bonden.
b De motsvarande vinklarna i likformiga figurer har samma mått.
Lösning
a Det är känt att de två bönderna är likformiga figurer. Detta innebär att deras dimensioner har samma förhållande och är relaterade till varandra genom en skalningsfaktor. I detta fall är den lika med 1,5.
Skalningsfaktor=1,5
Höjden på den mindre bonden är 5,8 centimeter. Hitta höjden på den större bonden genom att multiplicera 5,8 med skalningsfaktorn 1,5. 5,8⋅1,5=8,7 cm
Höjden på den större bonden är 8,7 centimeter.
b De två korten är likformiga figurer, där ruter dam är det mindre kortet och ruter fyra är det större kortet. Kom ihåg att likformiga figurer har kongruenta vinklar. Måttet på den översta vinkeln på rutan på det mindre kortet är 72∘.
O¨versta vinkeln=72∘
Detta innebär att måttet på den översta vinkeln på rutan på det större kortet också är 72∘.
Övning
Hitta eller använd skalningsfaktorn
Tänk på två likformiga figurer. Använd den givna informationen för att hitta längskala, avrundad till två decimaler, eller längden på någon av figurerna, avrundad till närmaste heltal.
Avslut
Sammanfattning
Denna lektion behandlade begreppen kongruens och likformighet och hur de kan användas i olika sammanhang. Två figurer är kongruenta om de har samma form och storlek — detaljer som färg och orientering spelar ingen roll.
Å andra sidan är likformiga figurer sådana som har samma form men olika storlekar. Det är som om en är en mindre version av den andra.
| Kongruent eller likformig? | Relation |
|---|---|
| Kongruent | Motsvarande sidor och vinklar i kongruenta figurer är kongruenta. |
| Likformig | Motsvarande sidor i likformiga figurer är proportionella. Motsvarande vinklar i likformiga figurer är kongruenta. |
Kongruens och likformighet används ofta inom flera områden, som arkitektur. Följande modell av ett gammalt slott inkluderar torn med kongruenta former.
Använder bild av: @tohamina
Observera att taken på tornen framför slottet ser ut som kongruenta trianglar.
Använder bild av: @tohamina
Laddar innehåll