Metod

Bestäm en sned asymptot

När en funktion har en sned asymptot, antingen när xx går mot \infty eller -,\text{-} \infty, kan denna beskrivas med räta linjens ekvation: y=kx+m.y = kx + m. För att bestämma asymptoten börjar man med att bestämma kk-värdet, följt av mm-värdet och till sist sätter man in dessa i ekvationen. Man kan t.ex. bestämma asymptoten till funktionen f(x)=3x3+x23x+2x2+1 f(x) = \dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1} när xx går mot .\infty.

1

Bestäm k=limxf(x)xk= \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}
Om det finns en sned asymptot bestämmer man kk-värdet genom att dividera f(x)f(x) med xx och låta kvoten gå mot \infty eller -,\text{-} \infty, beroende på var man söker asymptoten. k=limxf(x)x k = \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} Först bestämmer man f(x)x.\frac{f(x)}{x}.
f(x)x\dfrac{f(x)}{x}
3x3+x23x+2x2+1undefinedx\left.\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}\middle/x\right.
3x3+x23x+2(x2+1)x\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{\left(x^2 + 1 \right) \cdot x}
3x3+x23x+2x3+x\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^3 + x}
Sedan beräknar man gränsvärdet när xx går mot \infty.
limx3x3+x23x+2x3+x\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^3 + x}
Beräkna gränsvärde
limx(3x3+x23x+2)undefinedx3(x3+x)undefinedx3\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\left.\left( 3x^3 + x^2 - 3x + 2 \right)\middle/x^3\right.}{\left.\left( x^3 + x \right)\middle/x^3\right.}
limx3x3x3+x2x33xx3+2x3x3x3+xx3\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3x^3}{x^3} + \frac{x^2}{x^3} - \frac{3x}{x^3} + \frac{2}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} + \frac{x}{x^3}}
limx3+1x3x2+2x31+1x2\lim \limits_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2}}
3+00+01+0\dfrac{3 + 0 - 0 + 0}{1 + 0}
31\dfrac{3}{1}
33
Man får alltså att k=3.k = 3.

2

Bestäm m=limx(f(x)kx)m = \lim \limits_{x \to \infty} \left( f(x) - kx \right)
Med hjälp av kk-värdet kan man sedan bestämma mm-värdet. Det gör man med gränsvärdet m=limx(f(x)kx). m = \lim \limits_{x \to \infty} \left( f(x) - kx \right). På samma sätt som tidigare bestämmer man först uttrycket inne i gränsvärdet, alltså f(x)kx,f(x) - kx, och förenklar det.
f(x)kxf(x) - kx
3x3+x23x+2x2+13x\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1} - 3x
Förenkla
3x3+x23x+2x2+1(x2+1)3xx2+1\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1} - \dfrac{\left(x^2 + 1\right) 3x}{x^2 + 1}
3x3+x23x+2x2+13x3+3xx2+1\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1} - \dfrac{3x^3 + 3x}{x^2 + 1}
3x3+x23x+2(3x3+3x)x2+1\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2 - \left( 3x^3 + 3x \right)}{x^2 + 1}
3x3+x23x+23x33xx2+1\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2 - 3x^3 - 3x}{x^2 + 1}
x26x+2x2+1\dfrac{x^2 - 6x + 2}{x^2 + 1}
Sedan beräknar man gränsvärdet när xx går mot \infty för att bestämma m.m.
limxx26x+2x2+1\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{x^2 - 6x + 2}{x^2 + 1}
Beräkna gränsvärde
limx(x26x+2)undefinedx2(x2+1)undefinedx2\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\left.\left( x^2 - 6x + 2 \right)\middle/x^2\right.}{\left.\left( x^2 + 1 \right)\middle/x^2\right.}
limxx2x26xx2+2x2x2x2+1x2\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{6x}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}}
limx16x+2x21+1x2\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{1 - \frac{6}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}
10+01+0\dfrac{1 - 0 + 0}{1 + 0}
11\dfrac{1}{1}
11
Asymptoten har alltså mm-värdet 1.1.

3

Bestäm asymptoten

För att till sist bestämma asymptoten är det bara att sätta in kk- och mm-värdena i ekvationen för en rät linje. y=kx+m y = kx + m Här får man alltså asymptoten y=3x+1. y = 3x + 1.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}