Metod

Bestäm en sned asymptot

När en funktion har en sned asymptot, antingen när xx går mot \infty eller -,\text{-} \infty, kan denna beskrivas med räta linjens ekvation: y=kx+m.y = kx + m. För att bestämma asymptoten börjar man med att bestämma kk-värdet, följt av mm-värdet och till sist sätter man in dessa i ekvationen. Man kan t.ex. bestämma asymptoten till funktionen f(x)=3x3+x23x+2x2+1 f(x) = \dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1} när xx går mot .\infty.

Om det finns en sned asymptot bestämmer man kk-värdet genom att dividera f(x)f(x) med xx och låta kvoten gå mot \infty eller -,\text{-} \infty, beroende på var man söker asymptoten. k=limxf(x)x k = \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} Först bestämmer man f(x)x.\frac{f(x)}{x}.

f(x)x\dfrac{f(x)}{x}
3x3+x23x+2x2+1undefinedx\left.\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}\middle/x\right.
3x3+x23x+2(x2+1)x\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{\left(x^2 + 1 \right) \cdot x}
3x3+x23x+2x3+x\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^3 + x}

Sedan beräknar man gränsvärdet när xx går mot \infty.

limx3x3+x23x+2x3+x\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^3 + x}
33

Man får alltså att k=3.k = 3.

Med hjälp av kk-värdet kan man sedan bestämma mm-värdet. Det gör man med gränsvärdet m=limx(f(x)kx). m = \lim \limits_{x \to \infty} \left( f(x) - kx \right). På samma sätt som tidigare bestämmer man först uttrycket inne i gränsvärdet, alltså f(x)kx,f(x) - kx, och förenklar det.

f(x)kxf(x) - kx
3x3+x23x+2x2+13x\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1} - 3x
x26x+2x2+1\dfrac{x^2 - 6x + 2}{x^2 + 1}

Sedan beräknar man gränsvärdet när xx går mot \infty för att bestämma m.m.

limxx26x+2x2+1\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{x^2 - 6x + 2}{x^2 + 1}
11

Asymptoten har alltså mm-värdet 1.1.

För att till sist bestämma asymptoten är det bara att sätta in kk- och mm-värdena i ekvationen för en rät linje. y=kx+m y = kx + m Här får man alltså asymptoten y=3x+1. y = 3x + 1.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}