Bevis

Mantelarea kon

När manteln på en kon plattas till bildas en cirkelsektor med radie $s$ och en båglängd som är lika stor som basytans omkrets, dvs. $2\pi r$.

Cirkelbågen är som sagt $2\pi r$ lång. Om vi förlänger cirkelbågen så att vi får en cirkel hade area och omkrets blivit $\pi s^2$ och $2\pi s$ som i nedanstående figur.

Cirkelbågens längd är direkt proportionell mot cirkelsektorns area. Om cirkelsektorn t.ex. är en halvcirkel blir både arean och båglängden hälften så stora som om det varit en helcirkel. Om vi delar cirkelsektorns area ($A$) med cirkelns area $\pi s^2$ får vi därför samma förhållande som om vi delar cirkelbågens längd $2\pi r$ med cirkelns omkrets $2\pi s$. Vi får ekvationen: $\dfrac{A}{\pi s^2}=\dfrac{2\pi r}{2\pi s}.$ Vi löser ut $A$ i ovanstående ekvation.

$\dfrac{A}{\pi s^2}=\dfrac{2\pi r}{2\pi s}$

Förkorta med $2\pi$

$\dfrac{A}{\pi s^2}=\dfrac{r}{s}$

$\text{VL} \cdot \pi s^2=\text{HL}\cdot \pi s^2$

$A=\dfrac{\pi s^2 r}{s}$

Förenkla kvot

$A=\pi s r$

Manteln har alltså arean $\pi s r$.