Bevis

Area parallelltrapets

Vi låter de parallella sidorna vara höjder och kallar dem $h_{1}$ och $h_{2}$ . Bredden är $b$ .

Nu kan vi dela upp området i två trianglar och en rektangel. Höjderna på trianglarna kallar vi $x$ respektive $y$ .

Den totala arean ges av summan av arean av trianglarna och rektangeln. Den översta triangeln har arean $\frac{b y}{2}$ och den andra har $\frac{b x}{2}$ . Rektangelns area är $b (h_{1} - x)$ . Nu adderar vi dessa uttryck.

A = b (h_{1} - x) + \frac{b y}{2} + \frac{b x}{2}

Distr

Multiplicera in $b$

A = b h_{1} - b x + \frac{b y}{2} + \frac{b x}{2}

AddFrac

Addera bråk

A = b h_{1} - b x + \frac{b y + b x}{2}

Titta på figuren igen. Vi ser att $y + (h_{1} - x)$ är lika med $h_{2}$ , vilket betyder att $y = h_{2} - (h_{1} - x)$ .

Vi sätter in uttrycket för $y$ i vår areaformel.

A = b h_{1} - b x + \frac{b y + b x}{2}

Substitute

$y = h_{2} - (h_{1} - x)$

A = b h_{1} - b x + \frac{b ( h _{2} - ( h _{1} - x ) ) + b x}{2}

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

A = b h_{1} - b x + \frac{b ( h _{2} - h _{1} + x ) + b x}{2}

Distr

Multiplicera in $b$

A = b h_{1} - b x + \frac{b h _{2} - b h _{1} + b x + b x}{2}

NumberToFrac

$a = \frac{2 \cdot a}{2}$

A = \frac{2 b h _{1}}{2} - \frac{2 b x}{2} + \frac{b h _{2} - b h _{1} + b x + b x}{2}

AddSubFrac

Lägg ihop bråk

A = \frac{2 b h _{1} - 2 b x + b h _{2} - b h _{1} + b x + b x}{2}

RearrangeTerms

Omarrangera termer

A = \frac{2 b h _{1} - b h _{1} + b h _{2} + b x + b x - 2 b x}{2}

SimpTerms

Förenkla termer

A = \frac{b h _{1} + b h _{2}}{2}

Distr

Multiplicera in $b$

A = \frac{b ( h _{1} + h _{2} )}{2}

Parallelltrapetsets area ges alltså av $A = \frac{b ( h _{1} + h _{2} )}{2}$ .