mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open

Area av en triangel

Bevis

Area av en triangel

Vi börjar med att studera en rätvinklig triangel som är det enkla fallet. En sådan kan alltid tolkas som en halv rektangel så som bilden visar.

Proof Triangelarea1.svg

Rektangelns area är , och triangelns area är alltså hälften av detta: . Detta fungerar för rätvinkliga trianglar, men alla andra då? En godtycklig triangel kan alltid vridas så någon sida ligger nedåt. Vi får två fall: Antingen ligger toppen ovanför basen, eller så ligger den utanför. Bilden visar detta, och de två fallen kan även kallas det spetsvinkliga fallet och det trubbvinkliga.

Proof Triangelarea2.svg

Fall 1

Det bildas två rätvinkliga trianglar inuti den stora, båda med höjden . Den ena basen är och den andra är . Deras respektive areor blir då Genom att addera dessa får vi den stora triangelns area. Kom ihåg att den stora triangelns bas är , vilket är lika med .

Triangelns area blir alltså i det här fallet också.

Fall 2

Här bildas en stor rätvinklig triangel med bas och höjd , och en mindre rätvinklig triangel med samma höjd men med bas . Om vi subtraherar den mindre triangelns area från den större får vi arean av den triangel vi är ute efter.

Triangelns area blir alltså oavsett om triangeln är rätvinklig, spetsvinklig eller trubbvinklig.

Q.E.D.