Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
Du måste välja en bok innan du kan söka på sidnummer
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Area av en triangel

Bevis

Area av en triangel

Vi börjar med att studera en rätvinklig triangel som är det enkla fallet. En sådan kan alltid tolkas som en halv rektangel så som bilden visar.

Proof Triangelarea1.svg

Rektangelns area är bhb\cdot h, och triangelns area är alltså hälften av detta: bh2\frac {bh}2. Detta fungerar för rätvinkliga trianglar, men alla andra då? En godtycklig triangel kan alltid vridas så någon sida ligger nedåt. Vi får två fall: Antingen ligger toppen ovanför basen, eller så ligger den utanför. Bilden visar detta, och de två fallen kan även kallas det spetsvinkliga fallet och det trubbvinkliga.

Proof Triangelarea2.svg

Fall 1

Det bildas två rätvinkliga trianglar inuti den stora, båda med höjden hh. Den ena basen är xx och den andra är yy. Deras respektive areor blir då xh2 och yh2. \dfrac{xh}2 \quad \text{ och } \quad \dfrac{yh}2. Genom att addera dessa får vi den stora triangelns area. Kom ihåg att den stora triangelns bas är bb, vilket är lika med x+yx+y.

xh2+yh2\dfrac{xh} 2 + \dfrac{yh}2
xh+yh2\dfrac{xh+yh} 2
h(x+y)2\dfrac{h(x+y)}{2}
hb2\dfrac{h \cdot {\color{#0000FF}{b}}}{2}
bh2\dfrac{bh} 2

Triangelns area blir alltså bh2\frac{bh} 2 i det här fallet också.

Fall 2

Här bildas en stor rätvinklig triangel med bas b+xb+x och höjd hh, och en mindre rätvinklig triangel med samma höjd men med bas xx. Om vi subtraherar den mindre triangelns area från den större får vi arean av den triangel vi är ute efter.

h(b+x)2xh2\dfrac{h(b+x)}2 - \dfrac{xh}2
bh+xh2xh2\dfrac{bh+xh}2 - \dfrac{xh}2
bh+xhxh2\dfrac{bh+xh-xh}2
bh2\dfrac{bh}2

Triangelns area blir alltså bh2\frac {bh} 2 oavsett om triangeln är rätvinklig, spetsvinklig eller trubbvinklig.

Q.E.D.