{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Negativa tal, värden under noll, är vanliga i verkliga mätningar som temperaturer i olika klimat, matlagning och till och med komplexa finansiella system. Att förstå hur man arbetar med positiva och negativa tal är avgörande för att lösa ett brett spektrum av verkliga problem. Denna lektion förklarar hur man adderar och subtraherar uttryck med negativa tal.
- Motsatt tal
- Addition med negativa tal
- Subtraktion med negativa tal
Förkunskaper
Utforska
Jämföra två punkter på en nummerlinje
Tallinjen visar två punkter, som var och en representerar ett heltal. Observera hur punkterna rör sig i förhållande till varandra. Flytta någon av punkterna för att få ett annat talpar.
Tänk på följande frågor för varje talpar på tallinjen.
- Hur långt är varje tal från noll?
- Vad är summan av talen?
- Vad är skillnaden mellan talen?
Teori
Utforska motsatta tal genom ekonomi
Överväg intäkter och förluster inom ekonomi. Intäkter representerar pengar som tjänas, och förluster representerar pengar som spenderas. Punkten där intäkter och förluster är lika kallas brytpunkten, vilket betyder ingen vinst eller förlust. Denna punkt är som noll på en tallinje. Dessa begrepp hjälper till att förklara motsatta tal, där varje positivt tal har en negativ motsvarighet, liknande vinster och förluster.
Koncept
Motsatt tal
Ett tal och dess motsatta tal har en summa som är lika med 0. Om man har ett tal så kan dess motsatta tal hittas genom att ändra dess tecken. I tabellen finns några exempel på motsatta tal.
| Tal | Motsatt tal | Summa |
|---|---|---|
| 5 | −5 | 5+(−5)=0 |
| −21 | 21 | −21+21=0 |
| 0 | 0 | 0+0=0 |
| a | −a | a+(−a)=0 |
| −b | b | −b+b=0 |
När motsatta tal placeras på en tallinje, är de exakt lika långt bort från 0, men åt olika riktningar.
Övning
Identifiera siffror och deras motsatser
Teori
Addering av positiva och negativa tal
Föreställ dig ett litet företag som gör 100 000 SEK i intäkter varje månad och spenderar 65 000 SEK. Hur beräknas det månatliga saldot? I det här fallet dras helt enkelt utgifterna från intäkterna.
100000−65000=35000
Men eftersom utgifter också kan representeras som ett negativt tal, kan saldot ses som summan av intäkter och utgifter. Logiskt sett bör detta totalbelopp också vara samma tal.
100000+(−65000)=35000
Här representerar talet −65000 företagets utgifter. Detta visar hur ett negativt värde minskar det totala beloppet. Regel
Addition med negativa tal
Att addera ett negativt heltal −b till ett heltal a är detsamma som att subtrahera det motsatta talet till −b från a.
a+(−b)=a−b
Bevis
Informell motiveringTa två tal, till exempel a=13 och b=3. Vi kan nu skriva upp additionen av a och −b.
13+(−3)
Skriv om 13 som additionen av 10 och 3.
1310+3+(−3)
Observera att 3 och −3 är motsatta tal. Summan av motsatta tal är lika med 0.
10+03+(−3)
Därför får man samma resultat om man adderar (−3) till 13 som ifall man subtraherar 3 från 13.
13+(−3)=10⇕13−3=10
Teori
Subtraktion av positiva och negativa tal
Anta att ett skoföretag som heter Dedos har en vinst på 100000 SEK under ett givet kvartal. Anta sedan att ett snörföretag som heter Pies tidigare har lånat 40000 SEK från Dedos, och att denna skuld betalas tillbaka under samma kvartal. Vad är den totala vinsten för Dedos? I det här fallet är det summan av de två talen.
100000+40000=140000
Här, ur Dedos perspektiv, kan beloppet 40000 SEK som lånas också behandlas som ett negativt tal. När Dedos samlar in sina skulder tas det beloppet bort från företagets balans.
100000−(−40000)=140000
När en skuld subtraheras innebär det att företaget inte längre är ansvarigt för den skulden. Istället för att förlora pengar läggs det beloppet tillbaka till företagets vinster som visas i det första uttrycket. Detta visar hur subtraktion av ett negativt värde resulterar i en ökning. Regel
Subtraktion med negativa tal
Att subtrahera ett negativt heltal −b från ett heltal a är detsamma som att addera det motsatta talet till −b till a.
a−(−b)=a+b
Bevis
Informell motiveringTa två tal, till exempel a=5 och b=4. Vi kan nu skriva upp subtraktionen av −b från a.
5−(−4)
Markera 5 och −4 på en tallinje.
Resultatet av att subtrahera −4 från 5 är differensen, alltså skillnaden, mellan dessa två tal. I det här fallet är skillnaden mellan talen 9 steg.
Avståndet mellan −4 och 5 kan hittas genom att addera 4 till 5. Man får alltså samma resultat om man subtraherar −4 från 5 som ifall man adderar 4 till 5.
5−(−4)=9⇕5+4=9
Exempel
Program för rymdsond
Tabellen sammanfattar de främsta källorna till finansiering och utgifter för ett rymdprobesprogram.
| Belopp i miljoner kronor | |
|---|---|
| Statliga bidrag | 500 |
| Privata donationer | 120 |
| Tillverkning av rymdfarkoster | −220 |
| Lanseringskostnader | −180 |
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">A<\/span><span class=\"mord textbf\">.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> Programmet g\u00e5r j\u00e4mt upp.","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">B<\/span><span class=\"mord textbf\">.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> Programmet ger en vinst p\u00e5 <span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">2<\/span><span class=\"mord\">2<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span> miljoner SEK.","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.73046875em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">C<\/span><span class=\"mord textbf\">.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> Programmet har en nettovinst p\u00e5 <span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">2<\/span><span class=\"mord\">2<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span> miljoner SEK.","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">D<\/span><span class=\"mord textbf\">.<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span> Den totala int\u00e4kten f\u00f6r programmet \u00e4r <span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">2<\/span><span class=\"mord\">8<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span> miljoner SEK."],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
Ledtråd
Lägg till regeringens bidrag och privata donationer för att hitta den totala intäkten. Lägg ihop alla poster för att avgöra om programmet gör en förlust eller vinst.
Lösning
Börja med att titta på källorna till finansiering och utgifter för programmet i den angivna tabellen.
| Belopp i miljoner kronor | |
|---|---|
| Statliga bidrag | 500 |
| Privata donationer | 120 |
| Tillverkning av rymdfarkoster | −220 |
| Lanseringskostnader | −180 |
500+120+(−220)+(−180)
Om detta belopp är positivt, gör programmet en vinst. Annars gör det en förlust. När man adderar ett negativt heltal till ett annat heltal, ändras plustecknet till ett minustecken och det negativa heltalet omvandlas till sitt motsatta tal.
500+120+(−220)+(−180)
AddTerms
Addera termerna
620+(−220)+(−180)
AddNeg
a+(−b)=a−b
620−220+(−180)
SubTerm
Subtrahera term
400+(−180)
AddNeg
a+(−b)=a−b
400−180
SubTerm
Subtrahera term
220
Alternativ lösning
Använda en tallinje för addition och subtraktionEn tallinje kan också användas för att hitta summan av alla heltal.
500+120+(−220)+(−180)
Börja med att addera 500 och 120. För att göra detta, dra en pil från 0 till 500, dra sedan en annan pil 120 enheter åt höger. Som kan ses i diagrammet slutar den yttersta pilen vid 620. Det betyder att summan av alla finansieringskällor är 620 miljoner SEK. Nu kan utgifterna läggas till. Kom ihåg att addera ett negativt tal innebär att man rör sig åt vänster på tallinjen. Rita en pil 220 enheter åt vänster från 620 för att representera att man lägger till −220.
Slutligen, rita en pil 180 enheter åt vänster för att representera att man lägger till −180.
Den yttersta pilen till vänster slutar vid 220. Det betyder att summan av finansieringskällorna och utgifterna för rymdprobesprogrammet är lika med 220 miljoner SEK. Det gör en vinst.
Exempel
Hur kallt blir det på månen på natten?
Enligt informationen som sänds från en satellit kan temperaturen på månen nå upp till 180∘C under dagen.
Om temperaturen kan sjunka med 390∘C på natten, hur kallt kan det bli på månen på natten?
Använder bild av: @wirestock
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.73046875em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Regular\">C<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["-210"]}}
Ledtråd
Frasen sjunka med
antyder en subtraktion.
Lösning
Det anges att temperaturen på månen kan nå upp till 180∘C under dagen.
Temperatur under dagen180∘C
Det kan sjunka med 390∘C. Frasen sjunka medantyder subtraktion — med andra ord, att subtrahera 390∘C från temperaturen under dagen ger temperaturen på natten.
Temperatur pa˚ natten180∘C−390∘C
Detta uttryck är en subtraktion av ett positivt heltal från ett annat heltal.
Temperaturen kan bli −210∘C på natten.
Alternativ lösning
Använda en nummerlinje för skillnadenEn tallinje kan också användas för att hitta skillnaden.
180−390
Börja med att lokalisera temperaturen under dagen på linjen. Nästa steg är att flytta 390 enheter åt vänster från 180 för att subtrahera 390 grader från den aktuella temperaturen.
Den yttersta pilen till vänster slutar vid −210. Detta visar att temperaturen på natten kan bli −210∘C på månen på natten.
Exempel
Den lägsta temperaturen på Mars
En rymdsond har mätt temperaturen på Mars under flera månader.
Att bestämma temperaturintervallet innebär att ta reda på hur långt −143 ligger från 30. Detta kan skrivas som en skillnad.
Använder bild av: ESA & MPS for OSIRIS Team MPS/UPD/LAM/IAA/RSSD/INTA/UPM/DASP/IDA
a Sondens högsta registrerade temperatur var 35∘C, och dess lägsta registrerade temperatur var −143∘C. Vad är temperaturintervallet?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.73046875em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Regular\">C<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["178"]}}
b Den lägsta temperaturen vid ekvatorn på Mars är 30∘C varmare än den lägsta registrerade temperaturen. Vad är den lägsta temperaturen vid ekvatorn?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.73046875em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Regular\">C<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["-113"]}}
Ledtråd
a Subtrahera den lägsta temperaturen från den högsta temperaturen.
b Lägg 30∘C till den lägsta registrerade temperaturen.
Lösning
a Överväg positionerna för temperaturerna på en tallinje.
30−(−143)
Detta numeriska uttryck involverar subtraktion av ett negativt tal. Kom ihåg att subtrahera ett negativt tal är detsamma som att addera det motsatta av det negativa talet. Tillämpa regeln för att hitta dess värde.
Skillnaden mellan den högsta och lägsta temperaturen är 173∘C. Detta är temperaturintervallet på Mars.
b Den lägsta registrerade temperaturen är −143∘C. Eftersom den lägsta temperaturen vid ekvatorn på Mars är 30∘C varmare än den lägsta registrerade temperaturen, måste 30∘C läggas till −143∘C för att hitta svaret.
−143+30
Detta uttryck involverar att addera heltal med olika tecken. Använd en tallinje för att hitta summan. Börja med att lokalisera den lägsta registrerade temperaturen. Flytta sedan 30 enheter åt höger från −143 för att lägga till 30 grader till den lägsta temperaturen. Den yttersta pilen till höger slutar vid −113. Detta visar att den lägsta temperaturen vid ekvatorn på Mars är −113∘C.
Övning
Addera och subtrahera heltal
Tänk på att addera ett negativt tal är detsamma som att subtrahera dess motsatta, medan subtrahera ett negativt heltal är detsamma som att addera dess motsatta.
Avslut
Sammanfattning
Denna lektion fokuserade på att lära ut metoderna för att addera och subtrahera negativa tal. När lektionen avslutas, ta ett ögonblick för att gå igenom reglerna en gång till.
| Regel | Förklaring |
|---|---|
| a+(−b)=a−b | Att addera ett negativt tal är motsvarande att subtrahera dess motsatta tal. |
| a−(−b)=a+b | Att subtrahera ett negativt tal är motsvarande att addera dess motsatta tal. |
Avslutningsvis är det viktigt att förstå hur man arbetar med negativa tal för att lösa matematikproblem. Att öva på dessa regler kommer att hjälpa till att bygga självförtroende i att hantera mer komplexa situationer som involverar negativa tal.
Extra
Spåra uppkomsten av negativa talMedan sökandet efter universums början fortsätter med sonden, börjar Ignacio och Emily sin undersökning av ursprunget till negativa tal. Negativa tal har en 2000-årig historia. Redan på 700-talet etablerade Brahmagupta de första reglerna för hantering av negativa tal. Men det var först på 1500-talet som negativa tal användes för att lösa ekvationer.
Negativa tal var kontroversiella under sina tidiga dagar. Vissa matematiker gillade inte idén om kvantiteter mindre än noll, medan andra tyckte att negativa tal var imaginära eller till och med onda. 
Trots de inledande kontroverserna har negativa tal visat sig vara otroligt användbara inom många områden av matematik, vetenskap och teknik. De gör det möjligt för människor att mäta kvantiteter som temperatur och skuld och att beskriva relationer mellan tal.
Laddar innehåll