{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Algebra

Faktorisering

Teori

Faktorisering

Att faktorisera ett tal eller uttryck betyder att man delar upp det i faktorer. Oftast innebär det att man delar upp ett tal i faktorer, t.ex. 30=23530 = 2 \cdot 3 \cdot 5, eller att man delar upp koefficienter och variabler i en variabelterm, t.ex. 4x3=22xxx4x^3 = 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x. Man kan också mena att man skriver om en summa som en produkt, t.ex. 2+2+2=322 + 2 + 2 = 3 \cdot 2. Ett tal som har faktoriserats så att alla faktorer är primtal sägs ha primtalfaktoriserats.

Exempel

Faktorisera uttryck

Faktorisera uttrycket 20a2b320a^2b^3 så långt det går.

Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt. Eftersom koefficienten är ett tal kan den primtalsfaktoriseras. Vi vet däremot inte vad variablerna representerar så den minsta uppdelningen vi kan göra är att skriva om potenserna som multiplikationer.

20x2y320x^2y^3
a3=aaaa^3=a\cdot a\cdot a
20x2yyy20x^2 \cdot y\cdot y\cdot y
a2=aaa^2=a\cdot a
20xxyyy20 \cdot x \cdot x \cdot y\cdot y\cdot y
45xxyyy4\cdot 5\cdot x\cdot x \cdot y\cdot y\cdot y
225xxyyy2\cdot 2\cdot 5\cdot x\cdot x \cdot y\cdot y\cdot y
Visa mer

Bryta ut

Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Exempelvis innehåller alla termer i uttrycket xx+2xx \cdot x + 2x variabeln xx. Bryts den ut får man resultatet x(x+2)x(x + 2). Man kan se detta som motsatsen till att multiplicera in något i en parentes.

4x+2y4x+2y

3a29a3a^2-9a

7ab+4b7ab+4b

6x+606x+60

-4x+4\text{-} 4x+4

12x+24y12x+24y

I de ovanstående exemplen bryts alla gemensamma faktorer ut ur uttrycken, men man måste inte göra det. Om den största gemensamma faktorn är 2x2x kan man bryta ut 22, xx eller båda.

Exempel

Bryt ut given faktor

Bryt ut 2x2x ur uttrycket 4x3+8x2.4x^3+8x^2.

Vi faktoriserar termerna i uttrycket. Om 2 och xx är faktorer i de faktoriserade termerna kan 2x2x brytas ut.

Term Faktorisera
4x34x^3 22xxx{\color{#0000FF}{2}}\cdot 2\cdot {\color{#0000FF}{x}}\cdot x\cdot x
8x28x^2 222xx{\color{#0000FF}{2}}\cdot 2\cdot 2\cdot {\color{#0000FF}{x}}\cdot x

Vi ser att 2 och xx utgör två av faktorerna i båda termer vilket innebär att 2x2x kan brytas ut.

22xxx+222xx2\cdot 2\cdot x\cdot x\cdot x+2\cdot 2\cdot 2\cdot x \cdot x
2x2xx+2x22x2x\cdot 2\cdot x\cdot x+2x\cdot 2\cdot 2\cdot x
2x(2xx+22x)2x\left(2\cdot x\cdot x+2\cdot 2\cdot x\right)
2x(2x2+4x)2x\left(2x^2+4x\right)
Visa mer

Exempel

Bryt ut största möjliga faktor

Bryt ut största möjliga faktor ur 4x3+8x2.4x^3+8x^2.

Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.

Term Faktorisera
4x34x^3 22xxx{\color{#0000FF}{2}}\cdot {\color{#0000FF}{2}}\cdot {\color{#0000FF}{x}}\cdot {\color{#0000FF}{x}}\cdot x
8x28x^2 222xx{\color{#0000FF}{2}}\cdot {\color{#0000FF}{2}}\cdot 2\cdot {\color{#0000FF}{x}}\cdot {\color{#0000FF}{x}}

Båda termer innehåller två 2:or och två xx. Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså 22xx2\cdot 2\cdot x\cdot x eller skrivet som en produkt: 4x2.4x^2.

22xxx+222xx2\cdot 2\cdot x\cdot x\cdot x+2\cdot 2\cdot 2\cdot x \cdot x
22xxx+22xx22\cdot 2\cdot x\cdot x \cdot x+2\cdot 2\cdot x\cdot x \cdot 2
4x2x+4x224x^2 \cdot x+4x^2\cdot 2
4x2(x+2)4x^2\left(x+2\right)
Visa mer

Uppgifter