{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
close

Antar en funktion alltid ett största/minsta värde?

För en funktion på ett slutet intervall finns det alltid ett globalt maximi- och minimivärde. Men antar alla funktioner ett största och ett minsta värde? För att besvara den frågan kan man titta på två fall då en funktion inte är definierad på ett slutet intervall.

Öppet intervall

Funktionen nedan har fyra extrempunkter på intervallet -4x3\text{-}4 \leq x \leq 3: ändpunkterna och två stationära punkter. Det minsta värdet, -32,\text{-}32, och det största värdet, 45,45, antas båda i ändpunkterna.

Men vad hade hänt om man istället hade letat på det öppna intervallet -4<x<3?\text{-}4 \lt x \lt 3? Funktionen hade då inte antagit yy-värdena -32\text{-}32 och 4545 eftersom ändpunkterna inte ingår i definitionsmängden.

Funktionen antar t.ex. värdet 44.9,44.9, men det går alltid att hitta ett större värde genom att lägga till en extra decimal (44.99,44.999,44.9999(44.99, \, 44.999, \, 44.9999 osv.). På motsvarande sätt går det alltid att hitta mindre och mindre värden nära -32.\text{-}32. Därför saknar funktionen största och minsta värde.

Inget intervall

Funktionsvärdena för en del funktioner som inte är begränsade av intervall kommer att fortsätta mot positiva eller negativa oändligheten. Exempelvis antar andragradsfunktioner antingen ett maximi- eller minimivärde, men inte både och, eftersom de fortsätter oändligt uppåt eller nedåt på båda sidor om extrempunkten. Eftersom oändligheten inte är ett tal säger man att de saknar största eller minsta värde.

Vissa andra funktioner, t.ex. tredjegradspolynom, går mot både positiva och negativa oändligheten och saknar både största och minsta värde. Sammanfattningsvis finns det alltså flera fall då funktioner aldrig antar ett största och/eller minsta värde.