{{ tocSubheader }}
| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Jrhoads (Diskussion | bidrag) | Jrhoads (Diskussion | bidrag) (Den här versionen är märkt för översättning) | ||
Rad 1: | Rad 1: | ||
− | <hbox type="h1" iconcolor="why" iconimg="372"><translate>Kvadratroten ur ett negativt tal</translate></hbox> | + | <hbox type="h1" iconcolor="why" iconimg="372"><translate><!--T:1--> |
− | <translate>[[Kvadratrot *Wordlist* |kvadratroten]] ur ett positivt tal är alltid definierat. Men kan man dra kvadratroten ur negativa tal, exempelvis | + | Kvadratroten ur ett negativt tal</translate></hbox> |
+ | <translate><!--T:2--> | ||
+ | [[Kvadratrot *Wordlist* |kvadratroten]] ur ett positivt tal är alltid definierat. Men kan man dra kvadratroten ur negativa tal, exempelvis | ||
</translate>\[ | </translate>\[ | ||
\sqrt{\N4}? | \sqrt{\N4}? | ||
\] | \] | ||
− | <translate>Svaret på den frågan beror på vilka [[Talmängd *Wordlist*|talmängder]] man använder, vilket ofta avgörs av hur långt man kommit i sina matematikstudier. Om man enbart letar bland de [[Reella tal *Wordlist*|reella talen]] ska man hitta ett sådant tal $a$ som '''gånger sig självt''' blir $\N4$:</translate> | + | <translate><!--T:3--> |
+ | Svaret på den frågan beror på vilka [[Talmängd *Wordlist*|talmängder]] man använder, vilket ofta avgörs av hur långt man kommit i sina matematikstudier. Om man enbart letar bland de [[Reella tal *Wordlist*|reella talen]] ska man hitta ett sådant tal $a$ som '''gånger sig självt''' blir $\N4$:</translate> | ||
\[ | \[ | ||
a \g a = \N4. | a \g a = \N4. | ||
\] | \] | ||
− | <translate>Man kan då testa olika kombinationer med positiva och negativa tvåor.</translate> | + | <translate><!--T:4--> |
+ | Man kan då testa olika kombinationer med positiva och negativa tvåor.</translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
− | <translate>[[File:kvadratrotenurettnegativttal1.svg|center|link=|alt=beräkningar]]</translate> | + | <translate><!--T:5--> |
+ | [[File:kvadratrotenurettnegativttal1.svg|center|link=|alt=beräkningar]]</translate> | ||
TAGS: | TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
Rad 25: | Rad 30: | ||
</PGFTikz> | </PGFTikz> | ||
− | <translate>Endast $2 \g (\N2)$ ger svaret $\N4,$ men $2$ och $\N2$ är '''två olika tal'''. Det finns alltså inget reellt tal som svar på uträkningen $\sqrt{\N4}.$ Man brukar därför i början av sina matematikstudier säga att det '''inte går''' att dra kvadratroten ur negativa tal.</translate> | + | <translate><!--T:6--> |
+ | Endast $2 \g (\N2)$ ger svaret $\N4,$ men $2$ och $\N2$ är '''två olika tal'''. Det finns alltså inget reellt tal som svar på uträkningen $\sqrt{\N4}.$ Man brukar därför i början av sina matematikstudier säga att det '''inte går''' att dra kvadratroten ur negativa tal.</translate> | ||
− | <ebox Title='<translate>Med imaginära tal</translate>' labletitle="Extra"> | + | <ebox Title='<translate><!--T:7--> |
− | <translate>För att ändå kunna dra roten ur negativa tal har man infört den sk. [[Imaginära enheten *Wordlist*| imaginära enheten]] ''i'', som definieras</translate> | + | Med imaginära tal</translate>' labletitle="Extra"> |
+ | <translate><!--T:8--> | ||
+ | För att ändå kunna dra roten ur negativa tal har man infört den sk. [[Imaginära enheten *Wordlist*| imaginära enheten]] ''i'', som definieras</translate> | ||
\[ | \[ | ||
i^2=\N1. | i^2=\N1. | ||
\] | \] | ||
− | <translate>Med hjälp av den kan man skriva om $\N4$ så att det innehåller ''i'':</translate> | + | <translate><!--T:9--> |
+ | Med hjälp av den kan man skriva om $\N4$ så att det innehåller ''i'':</translate> | ||
\[ | \[ | ||
\N4=4 \g (\N1)=4i^2. | \N4=4 \g (\N1)=4i^2. | ||
\] | \] | ||
− | <translate>När man nu ska dra kvadratroten ur $\N4$ kan man alltså göra detta genom att skriva $\N4$ som ovan och därefter utnyttja regler för potenser och rotuttryck$^*$:</translate> | + | <translate><!--T:10--> |
+ | När man nu ska dra kvadratroten ur $\N4$ kan man alltså göra detta genom att skriva $\N4$ som ovan och därefter utnyttja regler för potenser och rotuttryck$^*$:</translate> | ||
\[ | \[ | ||
\sqrt{\N4}=\sqrt{4i^2}=\sqrt{(2i)^2}=2i. | \sqrt{\N4}=\sqrt{4i^2}=\sqrt{(2i)^2}=2i. | ||
\] | \] | ||
− | <translate>Svaret på frågan "Vad blir roten ur $\N4$?" är alltså $2i,$ om man använder imaginära tal. Man '''kan''' alltså dra kvadratroten ur negativa tal, men då får man ett s.k. [[Imaginära tal *Wordlist* |'''imaginärt''']], och inte ett [[Reella tal *Wordlist* | '''reellt''']] tal. Det är det man menar när man säger att t.ex. ekvationen $x^2 =\N25$ saknar reella rötter.</translate> | + | <translate><!--T:11--> |
+ | Svaret på frågan "Vad blir roten ur $\N4$?" är alltså $2i,$ om man använder imaginära tal. Man '''kan''' alltså dra kvadratroten ur negativa tal, men då får man ett s.k. [[Imaginära tal *Wordlist* |'''imaginärt''']], och inte ett [[Reella tal *Wordlist* | '''reellt''']] tal. Det är det man menar när man säger att t.ex. ekvationen $x^2 =\N25$ saknar reella rötter.</translate> | ||
− | <translate>$^*$Egentligen är $\sqrt{a^2}=|a|,$ alltså [[Absolutbelopp *Wordlist* | absolutbeloppet]] av $a$ i sista steget. Men det har utelämnats här för att få en övergripande förståelse för omskrivningen.</translate> | + | <translate><!--T:12--> |
+ | $^*$Egentligen är $\sqrt{a^2}=|a|,$ alltså [[Absolutbelopp *Wordlist* | absolutbeloppet]] av $a$ i sista steget. Men det har utelämnats här för att få en övergripande förståelse för omskrivningen.</translate> | ||
</ebox> | </ebox> | ||
Endast 2⋅(-2) ger svaret -4, men 2 och -2 är två olika tal. Det finns alltså inget reellt tal som svar på uträkningen -4. Man brukar därför i början av sina matematikstudier säga att det inte går att dra kvadratroten ur negativa tal.
För att ändå kunna dra roten ur negativa tal har man infört den sk. imaginära enheten i, som definieras∗Egentligen är a2=∣a∣, alltså absolutbeloppet av a i sista steget. Men det har utelämnats här för att få en övergripande förståelse för omskrivningen.