| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Henrik (Diskussion | bidrag) | Parsoid (Diskussion | bidrag) (Emptied content using mlmaintenance/clearSolutionNamespace script.) | ||
Rad 4: | Rad 4: | ||
<bblock page="Misc:Integral för graf under x-axeln"/> | <bblock page="Misc:Integral för graf under x-axeln"/> | ||
<bblock page="Beräkna integral med area *Method*"/> | <bblock page="Beräkna integral med area *Method*"/> | ||
+ | |||
+ | <summary>Denna lektion fokuserar på att förstå integraler och deras roll i att beräkna arean under en graf. Integraler är ett kraftfullt verktyg som kan användas för att bestämma arean av mer komplexa figurer, inte bara enkla former som trianglar och rektanglar. Detta är särskilt användbart inom fysik och ingenjörsvetenskap, där man ofta behöver beräkna arean under en kurva för att lösa problem relaterade till rörelse, hastighet och acceleration. Dessutom kan det hjälpa till att analysera ekonomiska modeller inom finans och ekonomi. Det är också viktigt att notera att en integral kan vara negativ, vilket kan påverka beräkningen av arean.</summary> | ||
+ | <ocseo title="Integraler och area under grafen: En guide till beräkning av area" description="Utforska integralens roll i att beräkna arean under en graf. Lär dig hur en negativ integral kan påverka beräkningen och hur man bestämmer arean av det skuggade området i en figur."/> | ||
[[Kategori:Chapter:Integraler]] | [[Kategori:Chapter:Integraler]] |
Figurer som exempelvis trianglar, cirklar och rektanglar har areaformler, men för att bestämma arean av mer generella figurer, t.ex. den nedan, behövs andra metoder.
Då kan man använda integraler. Det är ett brett räkneverktyg som handlar om att beräkna summor och används till mycket mer än bara areaberäkningar. Idén bygger på att dela upp problemet i mindre bitar som är lättare att räkna på, och sedan lägga ihop dessa. I fallet med area delas figuren in i rektanglar.
Rektanglarnas sammanlagda area matchar inte figurens area perfekt, men ju smalare rektanglar som används desto mindre blir avvikelsen. Ett mer matematiskt sätt att säga samma sak är att figurens area är gränsvärdet av rektanglarnas summa, då deras bredd går mot 0.
För att bestämma figurens area algebraiskt ställer man upp ett generellt uttryck för rektanglarnas areor. Det gör man lättast genom att placera figuren i ett koordinatsystem, med figurens bas på x-axeln. Rektanglarna har olika höjd, som bestäms av någon funktion f(x), men de har alla samma bredd, kallad Δx.
Den första rektangeln står centrerad på ett x-värde kallat x1, och genom att sätta in det i f(x) får man det funktionsvärde som motsvarar rektangelns höjd. Eftersom bredden är döpt till Δx kan första rektangelns area uttryckas f(x1)Δx. På samma sätt kan man uttrycka övriga rektanglars area, och genom att summera dem får man en uppskattning av figurens area:A=Δx→0lim(f(x1)Δx+f(x2)Δx+…+f(xn)Δx)
Det är det här gränsvärdet man kallar integral. För att slippa skriva ut en så lång summa använder man en kortare notation.
När bredden går mot 0, dvs. när rektanglarna blir "oändligt tunna", brukar man skriva dx istället för Δx. Funktionen f(x) som integreras kallas integrand, medan talen a och b kallas integrationsgränser. Dessa definierar områdets vänstra respektive högra gräns.
Ställ upp en integral som beskriver arean av det markerade området.
När en graf ligger ovanför x-axeln kan integralen tolkas som arean mellan grafen och x-axeln. Men gäller samma sak när grafen går under x-axeln?
Sen tidigare är det klart att värdet av en integral, här kallad I, definieras som gränsvärdet av en summa av rektangelareor, uttryckta som f(x)Δx. En viktig skillnad jämfört med tidigare är dock att funktionsvärdena är negativa när grafen går under x-axeln.
Detta innebär att varje term i summan kommer vara negativ och därmed även integralen.Man börjar med att markera det eller de områden mellan grafen och x-axeln som definieras av integralen. I detta fall ska integralen beräknas mellan x-värdena 0 och 9, vilket motsvarar följande två områden.
Värdet på integralen bestäms på olika sätt beroende på om den beskriver ett eller flera områden.