Polynomekvationer och polynomfunktioner

Ladda ner gratis
Lösningarna finns i appen
Android iOS
Uppgifter markerade med kräver Mathleaks premium för att visa i appen. Ladda ner Mathleaks app på Google Play eller iTunes AppStore
Sektioner
Enkla polynomekvationer
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Enkla polynomekvationer 1201 1
Enkla polynomekvationer 1202 1
Enkla polynomekvationer 1203 1
Enkla polynomekvationer 1204 1
Enkla polynomekvationer 1205 1
Enkla polynomekvationer 1206 1
Enkla polynomekvationer 1207 1
Enkla polynomekvationer 1208 1
Enkla polynomekvationer 1209 1
Enkla polynomekvationer 1210 1
Enkla polynomekvationer 1211 1
Enkla polynomekvationer 1212 2
Enkla polynomekvationer 1213 2
Enkla polynomekvationer 1214 2
Enkla polynomekvationer 1215 2
Enkla polynomekvationer 1216 2
Enkla polynomekvationer 1217 2
Enkla polynomekvationer 1218 3
Enkla polynomekvationer 1219 3
Mer om polynomekvationer
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Mer om polynomekvationer 1220 1
Mer om polynomekvationer 1221 1
Mer om polynomekvationer 1222 1
Mer om polynomekvationer 1223 1
Mer om polynomekvationer 1224 1
Mer om polynomekvationer 1225 1
Mer om polynomekvationer 1226 1
Mer om polynomekvationer 1227 1
Mer om polynomekvationer 1228 1
Mer om polynomekvationer 1229 2
Mer om polynomekvationer 1230 2
Mer om polynomekvationer 1231 2
Mer om polynomekvationer 1232 2
Mer om polynomekvationer 1233 3
Mer om polynomekvationer 1234 3
Mer om polynomekvationer 1235 3
Mer om polynomekvationer 1236 3
Mer om polynomekvationer 1237 3
Grafen till en polynomfunktion
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Grafen till en polynomfunktion 1238 1
Grafen till en polynomfunktion 1239 1
Grafen till en polynomfunktion 1240 1
Grafen till en polynomfunktion 1241 1
Grafen till en polynomfunktion 1242 1
Grafen till en polynomfunktion 1243 2
Grafen till en polynomfunktion 1244 2
Grafen till en polynomfunktion 1245 2
Grafen till en polynomfunktion 1246 2
Grafen till en polynomfunktion 1247 3
Faktorer och nollställen
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Faktorer och nollställen 1248 1
Faktorer och nollställen 1249 1
Faktorer och nollställen 1250 1
Faktorer och nollställen 1251 1
Faktorer och nollställen 1252 1
Faktorer och nollställen 1253 1
Faktorer och nollställen 1254 2
Faktorer och nollställen 1255 2
Faktorer och nollställen 1256 2
Faktorer och nollställen 1257 3
Faktorer och nollställen 1258 3
Faktorer och nollställen 1259 3
Faktorer och nollställen 1260 3
Mathleaks Kurser

Polynomekvationer och polynomfunktioner (Kurs 3) finns också i Mathleaks kurser, besök mathleaks.se/utbildning för teori, tester och övningar med lösningar.

Andra delkapitel i Algebraiska uttryck

Hjälp och Forum

dramaturg
besvarad 2015-06-11 17:11
Varför är just -2 trippelroten och inte 2/5?
ML Ragnar
besvarad 2015-06-13 13:11
Kolla på funktionen i sin fullständigt faktoriserade form i den näst sista beräkningsrutan. Eftersom faktorn (x+2) förekommer tre gånger blir x = -2 en trippelrot. Faktorn (x - 2/5) finns bara en gång, så x = 2/5 är en vanlig rot.
dramaturg
besvarad 2015-06-11 18:01
Boken ger ett exempel på en funktion som bara har 3 nollställen. Visst är det så att den då har 3 nollställen men samtidigt 5 rötter?
ML Ragnar
besvarad 2015-06-13 13:17
Det är lite snårigt med ord som "rot", folk kan använda det på lite olika sätt. Själv tycker jag att "rot" är något som en ekvation har, men inte en funktion. Däremot skulle en funktion f(x) kunna ha 5 nollställen, vilket är samma sak som att ekvationen f(x) = 0 har 5 rötter. Förstår du hur jag menar?
dramaturg
besvarad 2015-06-13 14:13
Aa tack för förklaringen :)
dramaturg
besvarad 2015-06-11 18:36
B) i facit står det z(3-z)(z-1)
ML Ragnar
besvarad 2015-06-13 13:21
Ja, det är ett lite snyggare sätt att skriva det, men är helt likvärdigt med vårt svar. Tänk t.ex. hur du skulle utveckla -(a-b): -(a-b) = -a+b = b-a. I det här fallet har vi -(z-3), vilket enligt utvecklingen ovan ger (3-z), och därför är -z(z-3)(z-1) = z(3-z)(z-1)
Banizdirdolap
besvarad 2015-08-27 17:12
Hur kan jag få fram de andra lösningarna?
ML Ragnar
besvarad 2015-08-27 17:49
Hej! Gratisversionen har lösningar på nivå 1. För att komma åt resten av lösningarna krävs Mathleaks Premium, som man kan prenumerera på via vår hemsida.
Banizdirdolap
besvarad 2015-08-31 7:46
Jag har premium. Jag menade de andra lösningarna i själva uppgiften. :)))
ML Ragnar
besvarad 2015-08-31 8:13
Jaha! Haha. Ekvationen har bara två reella lösningar, dvs. de vi hittat. Sedan finns fyra komplexa rötter också, som man hittar genom att lösa delekvationerna x^3 = 27 och x^3 = -8 fullständigt. Det kan man dock inte göra förrän i kurs 4, där man får lära sig de Moivres formel som är till för just såna här potensekvationer med högre exponenter.
Ms.Osmansson
besvarad 2015-09-05 19:24
Hur kommer man fram till 0,5?? Tack i förhand :)
Ms.Osmansson
besvarad 2015-09-05 19:40
Eller nää, det var inget. Lyckades lista ut det haha ;)
ML Ragnar
besvarad 2015-09-06 12:50
Bra att det löste sig! Lägger ändå upp en ny version på denna imorgon som förhoppningsvis är tydligare.
Anniess00
besvarad 2015-09-10 7:11
Hur vet man att ekvationen blir 1.5x^2-x^2 =8? :)
ML Tina
besvarad 2015-09-10 8:04
Hej! Vi ställer upp uttryck för både kvadraten och rektangeln. Sedan använder vi att rektangeln är 8cm^2 större än kvadraten. Då får vi den ekvationen. Det finns nu en ny version av lösningen. Den ska förhoppningsvis förklara detta lite bättre. Om något fortfarande är oklart är det bara att fråga igen!
Amanda
besvarad 2015-09-13 14:54
Hej! 2 frågor: förstod inte hur ni faktoriserade ekvationen. Och varför kan man inte ta pq formeln på den omarrangerade ekvationen, alltså V^2 - 150v + 4289=0 ??
ML Ragnar
besvarad 2015-09-13 15:21
Hej Amanda! 1. Faktoriseringen är ett onödigt krångligt sätt att dela varje term i ekvationen med 0.045. En ny version av lösningen dyker upp under kvällen där vi gör detta lite mer straight-forward. Det enda du behöver göra är alltså att dela allt med 0.045. 2. Här förstår jag inte riktigt vad du menar, det är just den ekvationen vi tagit PQ-formeln på. Vi har bara låtit bråket 193/0.045 stå kvar på den exakta formen istället för att skriva 4289, eftersom det är ett avrundat värde.
ML Ragnar
besvarad 2015-09-13 15:33
Nu ligger en ny version uppe!
Amanda
besvarad 2015-09-13 15:34
Jaha nu fattar jag! Tack så jättemycket :) skulle man tänka på samma sätt på fråga 1229 a) ?
ML Ragnar
besvarad 2015-09-13 16:09
Precis! Där delas alla termer med 2.
Amanda
besvarad 2015-09-13 16:55
Hej, jag förstod inte hur ni faktoriserade på 1232 c)?
ML Ragnar
besvarad 2015-09-13 18:43
Det är helt förståeligt att du inte gör. Vi borde använda PQ-formeln istället! En ny version är på gång.
ML Ragnar
besvarad 2015-09-13 19:17
Nu ligger den nya versionen uppe! Bara att fråga om det ändå är något oklart.
Amanda
besvarad 2015-09-17 16:56
Hej! jag förstod inte riktigt förklaringen på varför man satte in -7 och -1 på a) hur kom man fram till det?
ML Ragnar
besvarad 2015-09-17 17:45
Hejhej! Sambandet vi använder kommer ur det här: Parenteserna (x-a)(x-b) kan utvecklas till x^2 - (a+b)x + ab (pröva!). Det innebär också att ett andragradsuttryck på formen x^2 -(a+b)x + ab kan skrivas som produkten (x-a)(x-b). Det är den omskrivningen vi gör. a och b listar man ut genom att jämföra med koefficienterna i det givna uttrycket, Vi jämför uttrycken: x^2 -(a+b)x +ab x^2 - 8x +7 och noterar att a+b = 8 ab=7 Vi letar alltså efter två tal som blir 8 när de adderas, och 7 när de multipliceras. Därifrån får vi att a=7 och b=1 (eller tvärtom, vilken som är vilken spelar ingen roll). Den här metoden är ofta snabbare än PQ-formeln för att lösa andragradsekvationer, men de flesta elever går inte igenom den. Därför brukar vi inte använda den längre, men du har snubblat in på en lite äldre lösning. Det kommer en ny version imorgon!
Amanda
besvarad 2015-09-17 17:12
Måste man faktorisera?
ML Ragnar
besvarad 2015-09-17 17:46
Nej, det måste man inte. PQ-formeln är nog lättare att förstå! Det kommer en ny version av lösningen imorgon som kör PQ-spåret.
ML Ragnar
besvarad 2015-09-21 8:41
Hann tyvärr inte med detta i fredags, men nu ligger en ny version uppe! Ursäkta dröjsmålet.
Amanda
besvarad 2015-09-17 17:35
Finns det ett lätt tankesätt som gör det enklare att förstå hur man faktoriserar?
ML Ragnar
besvarad 2015-09-17 17:53
Uttryck av andra graden kan man faktorisera ganska enkelt (en förklaring står i forumet på 1233), men här har man tredje graden och då är det oftast svårt. Den alternativa lösningen visar kanske den enklaste metoden, där man omvandlar uttrycket bit för bit så att faktorer kan brytas ut. Men det är långt ifrån uppenbart, och väldigt beroende på hur uttrycket ser ut!
ML Ragnar
besvarad 2015-09-21 8:39
Passade på att uppdatera lösningen för att förklara faktoriseringen lite utförligare, och även lägga det som "Extra" då det inte är något man behöver kunna.
Amanda
besvarad 2015-09-17 18:03
Varför är det negativt tecken inom parenteserna?
ML Ragnar
besvarad 2015-09-17 18:12
Ett nollställe är ett x-värde där y är noll. Man ska alltså få ut y=0 när man sätter in ett x-värde som är ett nollställe. Skriver man en andragradare på formen y = (x-a)(x-b), så kommer y bli noll om x=a eller x=b, eftersom termerna i en av parenteserna tar ut varann. Därför är a och b nollställen. Hade man istället haft y = (x+a)(x+b) är det -a och -b som är nollställena. Här var ett exempel med två parenteser, men samma princip gäller även för fem som i uppgiften.
Amanda
besvarad 2015-09-19 11:22
Jag förstod inte hur ni faktoriserade på 1255 b)
ML Ragnar
besvarad 2015-09-21 10:06
Nej, fullt förståeligt! Det ligger en ny version uppe nu som använder PQ-formeln istället.
bellis
besvarad 2015-10-25 13:10
Hur multiplicerar man in i parenteserna när det är ett tredjegradspolynom?
ML Ragnar
besvarad 2015-10-25 17:31
Är det texten precis ovanför bilden du menar? Man utvecklar ett par av parenteser i taget. Börja t.ex. med de längst till höger, (x-1)(x-2). Kom ihåg att sätta en parentes runt resultatet, eftersom hela detta sjok sedan ska multipliceras med nästa parentes: -2(x+2)(x-1)(x-2) -2(x+2)(x*x -2*x -1*x-1(-2)) -2(x+2)(x^2 -3x +2) Sen tar du resultatet gånger nästa parentes: -2(x+2)(x^2 -3x +2) -2(x*x^2 -x*3x +x*2 + 2*x^2 -2*3x +2*2) -2(x^3 -3x^2 +2x + 2x^2 -6x +4) -2(x^3 -x^2 -4x +4) Multiplicera in tvåan, dvs dubblera alla termer: -2(x^3 -x^2 -4x +4) -(2*x^3 -2*x^2 -2*4x +2*4) -(2x^3 -2x^2 -8x +8) Slutligen gör minustecknet att alla tecken inuti byts då parentesen tas bort: -(2x^3 -2x^2 -8x +8) -2x^3 +2x^2 +8x -8
bellis
besvarad 2015-10-25 17:56
Hur kan ena (x+2)^3 försvinna vid faktoriseringen? Förstår verkligen inte
ML Ragnar
besvarad 2015-10-25 20:34
Det ligger en ny version av lösningen uppe nu som jag hoppas förklarar saken bättre. Är du med på att 5xt - 2t kan faktoriseras till t(5x-2)? Detta är att "bryta ut" och är egentligen bara vanlig parentesutveckling fast baklänges. Det gäller ju att t(5x-2) = t*5x - t*2 = 5xt - 2t. Enda skillnaden i lösningen är att istället för "t" är det hela uttrycket (x+2)^3 som bryts ut. Vi har försökt förtydliga processen genom att göra ett tillfälligt variabelbyte i lösningen. Det är bara ett krångligt sätt att säga att "(x+2)^3" har bytt namn till t, och sen efter en stund byter vi tillbaka. Det kan vara lättare att se sambanden när man skalar bort några symboler ur beräkningen, eller det är iallafall tanken med bytet. Hoppas det förtydligade saken! Fråga gärna igen annars.
bellis
besvarad 2015-10-26 7:58
Förstår precis nu!! Tack så jättemycket! :-)
bellis
besvarad 2015-10-25 19:23
Hur vet man att 3 är en dubbelrot?
bellis
besvarad 2015-10-25 19:23
Läste frågan fel, förstår nu haha!!
ML Ragnar
besvarad 2015-10-25 20:35
Bra att det löste sig =)
Anniess00
besvarad 2015-11-18 14:00
På 1229 B) så förstår jag inte hur ni får ut 9.25s. Jag har aldrig sett något liknande, kan någon förklara? :)
ML Tina
besvarad 2015-11-18 14:37
Det beror på att symmetrilinjen alltid ligger mittemellan nollställena. Om man bestämmer dem med PQ-formeln kommer det som står före rottecknet, dvs. -p/2, att vara symmetrilinjen. Det ligger uppe en ny version av lösningen nu där vi använder nollställena för att bestämma symmetrilinjen. Förhoppningsvis är den lite lättare att följa. Om det fortfarande är oklart är det bara att fråga igen!
ruwwi
besvarad 2017-05-02 10:46
Var tog 16 vägen i första uträkningen?
ML Tina
besvarad 2017-05-02 18:26
Vi beräknade 16-8 och då blir det bara 8 kvar. Det ligger uppe en ny lösning nu där vi även lagt till några alternativa lösningar.
mattewik
besvarad 2017-05-14 16:36
Hur vet vi att x = –1 är det dubbla nollstället?
ML Tina
besvarad 2017-05-15 8:12
Eftersom den röda grafen 'vänder' på x-axeln vid x=-1. Det betyder att det finns ett dubbelt nollställe där och då är (x+1)^2 med i polynomet. Jämför med den blå grafen. Där är (x-4)^2 med i polynomet och den vänder vid x=4.
Tina
besvarad 2017-08-27 12:32
Jag förstår inte, vad menar ni med den "dominerande termen"?
ML Ragnar
besvarad 2017-08-28 7:39
I princip "den största" termen, den som utgör största delen av y-värdet. Funktionen består av fyra termer: 2x^3, -x^2, -3x och 1. Dessa bidrar olika mycket till y-värdet, som du ser i första tabellen. För t.ex. x=10 blir 2x^3 = 2000, medan de andra blir i storleksordning 100 och lägre. När termerna sedan läggs ihop hamnar summan omkring 2000, eftersom de andra termerna var så små i jämförelse. Man säger då att 2x^3 är den dominerande termen.
Tina
besvarad 2017-08-27 14:25
Måste man ta in minustecken i parentesen på uppgift c (det allra sista steget) eller kan man svara r(z)=-z(z-3)(z-1) ?
ML Tina
besvarad 2017-08-28 6:37
Nej, det måste man inte. Det blir ett minustecken mindre om man väljer att flytta in det, men eftersom det endast står att man ska faktorisera kan man stanna vid r(z)=-z(z-3)(z-1) om man vill.
Tina
besvarad 2017-09-02 10:50
Hej, i andra stycket har ni skrivit "Eftersom termen som är upphöjd till 4 har koefficienten 2 vet vi att k = 2." Gäller det alltid så, att om vi t ex hade en liknande uppgift som denna fast en tredjegradspolynom istället där termen som är upphöjd till 3 har koefficienten t ex 6 , då är k-värdet 6? Man kollar alltså på den term som har högst siffra upphöjd till om det finns en koefficient framför den.
ML Ragnar
besvarad 2017-09-04 14:03
Ja, ungefär så. Men man får vara lite försiktig och det bästa är att inse varför det blir som det blir. Tar ett enklare exempel: k(x+1)(x+2). Kom ihåg hur parenteser utvecklas: varje term i ena parentesen ska multipliceras med varje term i den andra. Det ger, om k:et lämnas utanför: k(x*x + x*2 + 1*x + 1*2). Detta utvecklas sedan vidare till kx^2 + 3kx + 2k. Poängen här är att det bara finns en x^2-term, och den har koefficienten k. Om man nu på förhand vet att polynomet ska bli 3x^2 + ... så måste alltså k = 3. Det är bara en jämförelse mellan det uttryck man har och den färdiga form det ska bli. Samma princip gäller i uppgiften: k(x+6)(x+4)(x-2.5)(x-6) När många parenteser utvecklas ska man precis som i det tidigare fallet bilda alla möjliga kombinationer av termer, om man tar en från varje parentes. En kombination är t.ex. x*4*(-2.5)*x, en annan är 6*4*x*(-6), osv. Endast en kombination ger en fjärdegradsterm, nämligen om man plockar ett x från varje parentes: x*x*x*x = x^4. När k:et sedan multipliceras in blir termen kx^4, och vi kan nu precis som tidigare göra jämförelsen med det färdiga polynomet. Fjärdegradstermen ska bli 2x^4, så då är k = 2. Ursäkta att det blev lite långt, men hoppas det hjälpte. Anledningen att jag sa att man får vara försiktig är t.ex. om du hade haft koefficienter på x inuti parenteserna: k(x+1)(2x+3) När detta multipliceras ut blir andragradstermen 2kx^2, och då är det istället 2k som ska vara lika med det man nu läser av, t.ex. 3. Isåfall blir k = 3/2.
Tina
besvarad 2017-09-29 6:56
I 1244a) är inte x = 2 en dubbelrot för att kurvan vänder riktning då?
ML Ragnar
besvarad 2017-09-29 8:11
Japp, så är det! Vi har bara inte nämnt det. Frågan gäller ju vilka x-värden där kurvan tar i x-axeln, och det är bara x = -1 och x = 2.
send help
besvarad 2019-08-29 18:28
Hur vet man att z^3-termen är -1?
ML William
besvarad 2019-09-09 6:16
Hej! Eftersom polynomet är -z^3 + 3z^2 -3z så kan man bryta ut -1, som vi gör i första uträkningen. Därför vet vi att -1 är koefficienten till z^3, alltså talet som står framför z^3. Det är alltså inte z^3 som är -1.
linda
besvarad 2019-09-15 15:01
Hej! jag skulle behöva hjälp med att förenkla detta uttryck: (x^2-y^2-10y-25)÷(x-y-5) Mvh Linda
ML William
besvarad 2019-09-19 9:51
Hej! Vi har tyvärr inte möjlighet att hjälpa elever med uppgifter som vi inte skrivit lösningar till. Om du söker på "Förenkla rationella uttryck" i appen så får du en förklaring på hur du ska göra. Ha ev trevlig dag!
hvitare
besvarad 2020-07-30 11:48
Hej! Så en triangel kan vara både likbent OCH rätvinklig?
hvitare
besvarad 2020-08-04 12:34
I c), skulle man kunna förkorta 4x2 med fyra istället? Och sedan göra det på alla resterande termer, på båda led? Eller måste man göra på detta sättet med att faktorisera?
hvitare
besvarad 2020-08-04 13:17
I c), går det inte att bryta ut -x2 direkt istället?
hvitare
besvarad 2020-08-04 13:46
Hej! I a) exempelvis, så satte jag att z^2=x^4, så när jag fick ut z1=1 och z2=7 så tog jag dem i kvadrat och sedan drog fjärderoten ur, men det verkar inte som att det går?
hvitare
besvarad 2020-08-10 12:45
Hej! I uppgift c), när ni går från a^2<36, till olikheten -6< a< 6 tappat jag bort mig totalt! Förstår inte hur ni går från den roten till att få ut det intervallet! Ni drar roten ur 36 så då blir det +/- 6, men sen...?
hvitare
besvarad 2020-08-10 13:08
Hej! I a), hur faktoriserar ni fram till uttrycket (t-13)(t-1) från den ursprungsekvationen? Ser det bara inte!
hvitare
besvarad 2020-08-10 13:08
Testade ni er fram bara då när ni fick fram talen?
hvitare
besvarad 2020-08-10 14:03
Hej! I B), kan man säga att x^2 enbart har ett nollställe? Är inte det en dubbelrot?
hvitare
besvarad 2020-08-12 11:35
Hej! I c), i sista steget, varför byter man inte tecken i båda parenteserna utan bara i ena?
hvitare
besvarad 2020-08-24 18:05
Om man skulle skriva ut (x+2)^3 istället, hur skulle man kunna få fram rötterna då? Går det?
Magnus P
besvarad 2020-08-25 8:20
Hej! Varför är lösningen falsk, och ej imaginärt?
Har du en fråga eller behöver du hjälp med matten? Ladda ner Mathleaks app och ställ din fråga i forumet.