Träddiagram och komplementhändelser

Oavsett om Björn träffar det första skottet eller inte kommer sannolikheten inte att förändras nästa gång han skjuter. Det är fortfarande 80 % chans att han träffar tavlan och 20 % risk att han missar. Vi ritar ett träddiagram.

Vi markerar två träffar i rad i träddiagrammet.

Sannolikheten för att få två träffar i rad beräknar vi genom att multiplicera sannolikheterna längs med den röda vägen: P(T,T)=0,8* 0,8=0,64. Sannolikheten att Björn träffar båda sina skott är 0,64.

Vi ritar ett utfallsrum och markerar alla utfall där poängsumman är 4 eller 9.

Det finns 7 utfall där poängsumman blir 4 eller 9. Vi sätter in dessa värden i sannolikhetsformeln. Det totala antalet utfall är 36.

Sannolikheten är alltså ca 19 %.

Vi markerar de två händelserna i ett utfallsrum.

Det finns 2 utfall som ger poängsumman tre, medan 5 utfall ger poängsumman åtta. Det totala antalet utfall är 36 för båda händelser så poängsumman åtta är mer sannolik eftersom de gynnsamma utfallen är fler.

Vi markerar händelsen att ta upp två gröna kulor i träddiagrammet.

Sannolikheten för denna händelse kan beräknas genom att multiplicera sannolikheterna längs den markerade grenen i träddiagrammet: P(G,G)=0,6* 0,6=0,36. Sannolikheten att han tar två gröna kulor är 0,36.

Det finns två sätt för Stannis att plocka två olika kulor. Antingen tar han först en grön och sedan en blå. Eller så tar han först en blå och sedan en grön. Vi markerar dessa utfall i träddiagrammet.

Sannolikheten för de olika händelserna beräknas genom att multiplicera sannolikheterna längs med grenarna: P(G,B)=0,6* 0,4 och P(B,G)=0,4* 0,6 Sannolikheten för att någon av dessa händelser inträffar är summan av deras individuella sannolikheter.

Sannolikheten är alltså 0,48 att Stannis plockar två kulor med olika färg.

Om man inte vinner 10 kr så drar man antingen en nitlott eller vinner 20 kr. Därför blir komplementhändelsen: A^c=NIT eller VINST 20KR.

Utfallsrummet när man kastar en tärning är: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Något av dessa utfall måste inträffa och om vi inte får 4, 5 eller 6 måste vi få 1, 2 eller 3 prickar. Om vi kallar händelsen att få 4, 5 eller 6 vid ett tärningskast för A blir komplementhändelsen A^c = 1, 2 eller 3 prickar

Minst poängtalet 2 inkluderar utfallen 2, 3, 4, 5 och 6. Denna händelse är B. Utöver dessa kan man slå poängtalet 1 så komplementhändelsen till B blir B^c= 1 prick.

Det totala utfallsrummet beräknas genom att multiplicera utfallsrummen med varandra. Varje tärning har sex möjliga sidor och genom att multiplicera dessa kan vi beräkna det totala utfallsrummet när man kastar fyra tärningar: 6* 6* 6* 6=1296.

För att få poängsumman 4 måste den ena tärningen visa 3 och den andra 1 eller vice versa. Vi får även poängsumman 4 om båda skulle visa 2.

Det finns alltså tre gynnsamma utfall.

Sannolikhet beräknas med sannolikhetsformeln. I det här fallet är antalet gynnsamma utfall 3 och antalet möjliga utfall 36. Vi sätter in detta i formeln.

Sannolikheten att få poängsumman 4 är ca 8 %.

Vi markerar utfallen där vi får minst en 3:a i ett utfallsrum. Raderna representerar prickarna på den ena tärningen och kolumnerna antalet prickar på den andra.

Av de 36 möjliga utfallen innehåller 11 av dem minst en 3:a. Vi sätter in dessa värden i sannolikhetsformeln.

Vi markerar de utfall där tärningssumman är udda.

Det är 18 gynnsamma utfall och totala antalet utfall är fortfarande 36. Vi sätter in detta i sannolikhetsformeln.

Att inte få en trea är komplementhändelse till att få en trea. Summan av dessa sannolikheter är därför 1. Vi sätter in sannolikheten för att få en trea i formeln för komplementhändelse.

Sannolikheten att inte få en trea är 0,7.

Vi vet att sannolikheten för att det blir minst 25^(∘)C eller mer är 38 % = 0,38. Vi använder att summan av sannolikheterna för A och A^c är 1.

Sannolikheten för komplementhändelsen är 62 %.

Komplementhändelsen till att vinna mer än tusen kr är det som händer om man inte vinner mer än 1 000 kr. Det är alltså att man vinner högst 1 000 kr eller att man drar en nitlott. Om vi kallar händelsen att vinna mer än 1 000 kr för A kan komplementhändelsen skrivas A^c=som mest 1 000 kr eller nitlott. Vi vet att sannolikheten för mer än tusen kr i vinst är 0,002. Summan av sannolikheterna för A och A^c är 1. Vi använder det för att bestämma P(A^c).

Sannolikheten för komplementhändelsen är 99,8 %.

Det finns totalt 5+42+3=50 godisar i skålen. Av dessa är 42 stycken sura nappar. Sannolikheten för att godisen är en sur napp är antal gynnsamma utfall (42 st.) dividerat med antalet möjliga utfall dvs. 50 stycken.

Sannolikheten att hon drar en sur napp är 84 %.

Komplementhändelsen är det som händer om hon inte drar en sur napp, eller annorlunda formulerat, att hon drar ett geléhallon eller en colaflaska. Summan av en händelse och dess komplementhändelse är alltid 1: P(A)+P(A^c)=1 I vårt fall är P(A) händelsen att hon får en napp, dvs. 0,84 som vi redan räknat ut. Vi sätter in detta i formeln och löser ut kompementhändelsen.

Det är 16 % sannolikhet att hon inte får en sur napp.

I det här fallet är det egentligen lika enkelt att beräkna komplementhändelsens sannolikhet genom att dividera antalet gynnsamma med antalet möjliga utfall. Antal gynnsamma utfall för komplementhändelsen A^c (inte sur napp) är 5+3=8 och antal möjliga är fortfarande 50.

Summeras sannolikheterna för rött, gult och grönt blir det 1. Det finns ju inga andra möjliga utfall så sannolikheten att någon av dem inträffar måste vara 100 %.

Sannolikheten att trafikljuset visar grönt är 37 %.