Räkna med Vektorer: Vektoraddition, Multiplikation och Resultant

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Resultant

Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna "på rad", alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa. Man ritar sedan en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har $v, u$ och $z$ adderats för att bilda resultanten $r .$

Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger vektorerna. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.

Regel

Addera vektorer

Eftersom vektorer har både storlek och riktning måste man ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna $u = (4, 0)$ och $v = (5, 0)$ har samma riktning, så resultanten $r = u + v$ kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.

Resultanten får koordinaterna $(9, 0),$ dvs. summan av $u$ och $v$ :s respektive koordinater. Vid addition av två eller flera godtyckliga vektorer adderas $x$ - och $y$ -koordinaterna var för sig. Denna regel för vektoraddition brukar skrivas på följande sätt.

$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$

Om vektorerna

w = (4, 2)

och

z = (2, 3)

adderas, kan man skriva resultanten som

w + z = (6, 5) .

Det kan även göras grafiskt genom att rita ut resultanten av vektorerna som adderas och läsa av dess koordinater.

Addera vektorer

Återställ

Addera två vektorer

fullscreen

Addera vektorerna $u$ och $v$ .

Visa Lösning

Vi kan addera vektorerna på två sätt, algebraiskt och grafiskt. Vi visar båda.

Exempel

Algebraiskt

När man adderar vektorer ska $x$ -koordinater adderas för sig och y-koordinaterna för sig. Vi börjar alltså med att bestämma vektorernas koordinatform genom att mäta skillnaden i $x$ - och $y$ -led mellan start- och slutpunkterna.

Nu kan vi skriva vektorernas koordinatformer som $(- 3, 2)$ och $(3, 4)$ och adderar dem.

u + v

SubstitutePoints

Sätt in $(3, 2)$ & $(2, - 3)$

(3, 2) + (2, - 3)

AddVec

$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$

(3 + 2, 2 + (- 3))

AddTerms

Addera termer

(5, 2 + (- 3))

AddNeg

$a + (- b) = a - b$

(5, - 1)

Summan av $u$ och $v$ blir alltså $(5, - 1) .$

Exempel

Grafiskt

Vi parallellförflyttar ena vektorn så att dess startpunkt börjar i den andra vektorns slutpunkt. Vi kan då rita resultanten från den första vektorns startpunkt till den andra vektorns slutpunkt.

Nu kan vi läsa av att resultanten, alltså de två vektorerna adderade med varandra, är $(5, - 1) .$

Regel

Subtrahera vektorer

För att subtrahera två eller fler vektorer utnyttjas regeln för att addera vektorer. Differensen mellan två vektorer, t.ex.

u = (- 2, 2)

och

v = (2, 1),

kan skrivas som en addition av

u

och den negativa vektorn

- v :

u - v = u + (- v) .

Vektorn

- v

har samma storlek som

v

, men är riktad åt motsatt håll, vilket innebär att koordinaterna byter tecken. Genom att parallellförflytta en av vektorerna kan man addera dem.

Subtrahera vektor

Återställ

Resultanten $u - v$ blev alltså $(- 4, 1),$ dvs. differensen av $x -$ och $y$ -koordinaterna för sig. Generellt skrivs regeln för subtraktion av vektorer på följande sätt.

$(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)$

Subtrahera vektor

fullscreen

Subtrahera $v$ från $u$ .

Visa Lösning

Vi kan subtrahera vektorer på två sätt: algebraiskt och grafiskt. Vi visar båda.

Exempel

Algebraiskt

När man subtraherar vektorer ska

x

-koordinater subtraheras för sig och

y

-koordinater för sig. Vi börjar alltså med att bestämma vektorernas koordinatform genom att mäta skillnaden i

x

- och

y

-led mellan start- och slutpunkt.

Nu kan vi skriva vektorernas koordinatformer som $(- 1, 2)$ och $(3, 5)$ och subtrahera dem.

u - v

SubstitutePoints

Sätt in $(3, 5)$ & $(- 1, 2)$

(3, 5) - (- 1, 2)

SubVec

$(a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)$

(3 - (- 1), 5 - 2)

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

(3 + 1, 5 - 2)

AddSubTerms

Addera och subtrahera termer

(4, 3)

Differensen mellan $u$ och $v$ blir $(4, 3) .$

Exempel

Grafiskt

För att subtrahera

u

från

v

grafiskt kan vi använda metoden för att addera vektorer grafiskt. Detta medför att vi först måste vända på vektorn som subtraheras så att den pekar i motsatt riktning.

Vi parallellförflyttar nu $- v$ så att dess startpunkt börjar i den andra vektorns slutpunkt och ritar resultanten.

Nu ser vi att resultanten är $(4, 3),$ vilket alltså är differensen mellan $u$ och $v .$

Regel

Multiplikation av skalär och vektor

När man multiplicerar en vektor med en skalär förlängs eller förkortas vektorn. Man kan säga att vektorn skalas baserat på vilket tal den multipliceras med. Exempelvis gör en multiplikation med 2 att vektorn blir dubbelt så lång. Generellt kan man skriva detta som att vektorns båda koordinater multipliceras med skalären.

$a \cdot (b, c) = (a \cdot b, a \cdot c)$

Om $v = (4, 2)$ multipliceras med talet $3$ får man den nya vektorn $3 v = (3 \cdot 4, 3 \cdot 2) = (12, 6) .$ Detta kan visas grafiskt genom att se multiplikation som upprepad addition. $3 v$ är då lika med summan $v + v + v$ .

Multiplicera med 3

Återställ

3 v

har alltså samma riktning som

v

, men är tre gånger längre.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Addera två vektorer

Exempel

Subtrahera vektor