body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Matematik Origo 4, 2023

MO

Matematik Origo 4, 2023 Visa detaljer

3. Derivatan och grafen

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa delkapitel

Uppgift 2314 Sida 98

Derivatan av funktionen för x-koordinaten av toppunkten är lika med noll.

a = - 0,5

Övning ger färdighet

Låt oss överväga den givna kvadratiska funktionen. f(x) = ax^2 + 2x + 1 Vi vet att funktionen har ett maximumvärde på 3. Detta innebär att parabolen öppnar nedåt. Funktionen har en toppunkt vid (x_s,3) och derivatan av funktionen vid x_s är lika med 0.

Låt oss hitta derivatan av f(x). Sedan kommer vi att ersätta x_s med x och använda det faktum att f'(x_s) är lika med 0.

f(x) = ax^2 + 2x + 1

Derivera funktion

f'(x) = D(ax^2 + 2x + 1)

D( f + g ) = D(f) + D(g)

f'(x) = D(ax^2) + D(2x) + D(1)

D(a) = 0

f'(x) = D(ax^2) + D(2x)

D(k* f(x)) = k* D(f(x))

f'(x) = aD(x^2) + 2D(x)

D(x^n) = nx^(n-1)

f'(x) = a* 2x+ 2* 1

Multiplicera faktorer

f'(x) = 2ax + 2

x= x_s och f'(x)= 0

0 = 2a x_s + 2

VL-2=HL-2

- 2 = 2ax_s

.VL /2a.=.HL /2a.

- 2/2a = x_s

Omarrangera ekvation

x_s = - 2/2a

Förkorta med 2

x_s = - 1/a

Vi fann att x_s = - 1a är en toppunkt för parabolen. Funktionens värde vid toppunkten är 3. Låt oss ersätta ( - 1a, 3) i funktionen.

f(x) = ax^2 + 2x + 1

x= - 1/a och f(x)= 3

3 = a( - 1/a)^2 + 2( - 1/a) + 1

NegBaseToPosBase

(- a)^2=a^2

3 = a (1/a)^2 + 2(- 1/a) + 1

(a/b)^c=a^c/b^c

3 = a* 1/a^2+ 2(- 1/a) + 1

Multiplicera faktorer

3 = a/a^2 - 2/a + 1

Förkorta med a

3 = 1/a - 2/a + 1

Subtrahera bråk

3 = - 1/a + 1

VL-1=HL-1

2 = - 1/a

VL * a=HL* a

2a = - 1

.VL /2.=.HL /2.

a = - 1/2

Skriv i decimalform

a = - 0,5

För a = - 0,5 har funktionen det minsta värdet.

Delkapitel länkar

Maximi- och minimiproblem s.97-98

Maximi- och minimiproblem med digitala verktyg s.101-102

Kurvritning med derivata s.105-106

Vertikala och horisontella asymptoter s.109-110

Sneda asymptoter s.113

Kurvritning med hjälp av asymptoter s.116-117