Om x_1 och x_2 är lösningarna till ekvationen
x^2 + px + q = 0, så gäller att x_1 + x_2 = - p.
Kom ihåg att vi kan hitta lösningarna till ekvationen x^2 + px + q = 0 med hjälp av pq-formeln.
x=- p/2± sqrt((p/2)^2-q)
Vi kan dela upp detta i det positiva och det negativa fallet.
x_1= - p/2+ sqrt((p/2)^2-q) and x_2= - p/2- sqrt((p/2)^2-q)
Låt oss ersätta dessa uttryck i x_1 + x_2.
Om x_1 och x_2 är lösningarna till ekvationen
x^2 + px + q = 0, så gäller att x_1 * x_2 = - q.
Kom ihåg att vi kan hitta lösningarna till ekvationen x^2 + px + q = 0 med hjälp av pq-formeln.
x=- p/2± sqrt((p/2)^2-q)
Vi kan dela upp detta i det positiva och det negativa fallet.
x_1= - p/2+ sqrt((p/2)^2-q) och x_2= - p/2- sqrt((p/2)^2-q)
Låt oss ersätta dessa uttryck i x_1 * x_2.
Vi kan också bevisa påståendet genom att använda att en andragradsfunktion x^2 + px + q med nollställen x_1 och x_2 kan skrivas på följande faktoriserade form.
x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)
Låt oss utveckla högerledet i denna ekvation!
Nu kan vi skriva en ekvivalent ekvation.
x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2) ⇕
x^2+ px+ q=x^2+ ( - x_1 - x_2)x + x_1* x_2
Vi vet att denna ekvation är sann, så koefficienterna måste vara lika på båda sidor. Det innebär att p i vänsterledet måste vara lika med - x_1 - x_2 i högerledet, och att q i vänsterledet måste vara lika med x_1 * x_2 i högerledet.
