Uppgift 4202 Sida 197

Vi börjar med att rita upp u=4+i och v=-1+2i. Realdelen av u är 4 och imaginärdelen är 1. I det komplexa talplanet motsvaras detta av koordinaterna (4,1). På samma sätt är koordinaterna för v (-1,2). Vi markerar dessa vektorer i ett komplext talplan.

Summan av u och v representeras i det komplexa talplanet av den ena diagonalen i det parallellogram som u och v spänner upp. Vi visar detta med den röda pilen nedan.

Man kan även beräkna koordinaterna för u+v algebraiskt.

u+v

u+v=u+v

u+v

Substitute

u= 4+i, v= -1+2i

4+i+( -1+2i)

RemovePar

Ta bort parentes

4+i-1+2i

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

3+3i

Det komplexa talet u+v=3+3i motsvaras av koordinaterna (3,3) i det komplexa talplanet. Vi ser i koordinatsystemet ovan att det är just den punkten som den röda vektorn pekar på. Vi ska nu bestämma absolutbeloppet |u+v|. I det komplexa talplanet motsvaras detta av längden av den röda vektorn ovan. Den beräknar vi enligt $|a+bi|=sqrt(a^2+b^2)$ Vi bestämmer nu den röda vektorns längd.

|u+v|

Substitute

u+v= 3+3i

| 3+3i|

CompCartAbs

|a+bi|=sqrt(a^2+b^2)

sqrt(3^2+3^2)

CalcPow

Beräkna potens

sqrt(9+9)

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

sqrt(18)

Absolutbeloppet är alltså |u+v|=sqrt(18).

Vi skriver om u-v=u+(- v). Det betyder att vi kan tolka u-v som diagonalen i det parallellogram som u och - v spänner upp. Vi bestämmer - v - v=- (- 1+2i)=1-2i Vi markerar u, v och - v i det komplexa talplanet.

u-v är nu alltså den diagonal som uppstår i fyrhörningen mellan u och - v. Vi ritar in denna i koordinatsystemet nedan.

Vi beräknar även u-v algebraiskt.

u-v

u-v=u-v

u-v

SubstituteII

u= 4+i och v= - 1+2i

4+i-( - 1+2i)

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

4+i+1-2i

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

5-i

Vi ser nu att u-v=5-i vilket motsvaras av koordinaterna (5,- 1) i det komplexa talplanet. Det är precis den punkten som den röda vektorn pekar på. Nu beräknar vi |u-v| dvs. längden av vektorn u-v.

|u-v|

Substitute

u-v= 5-i

| 5-i|

CompCartAbs

|a+bi|=sqrt(a^2+b^2)

sqrt(5^2+(-1)^2)

CalcPow

Beräkna potens

sqrt(25+1)

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

sqrt(26)

Absolutbeloppet är alltså |u-v|=sqrt(26).

Extra

Man kan även tolka u-v=u-v som skillnaden mellan u och v. Vi minns att vektorer beskriver en riktad sträcka och beskriver en förändring av koordinater. Den behöver alltså inte utgå från origo. Vi ritar in u-v igen, men låter den utgå från v.

Nu ser vi att u-v beskriver sträckan mellan u och v. |u-v| beskriver således avståndet mellan punkterna u och v.