Uppgift 2102 Sida 55

Vi ska försöka förtydliga vad som händer med en sinusfunktion när vinkeln multipliceras med en faktor. Vi jämför funktionerna sin(v) och sin(2v) genom att rita ut dessa vinklar nedan.

Om vi tänker oss att vinkeln v ökar, så kommer förstås 2v öka snabbare. Vinkeln 2v kommer gå ett varv i cirkeln innan vinkeln v gjort det. Det innebär att sinusvärdet av 2v, dvs sin(2v), kommer gå igenom alla sina värden snabbare än sin(v). Detta representeras av en brantare sinuskurva, som visas nedan.

Den enda skillnaden mellan dessa kurvor är att den blå sin(2v) är en hoptryckt version av den röda sin(v). Eftersom sin(2v) går ett varv dubbelt så snabbt, så blir perioden hälften så lång! Generellt gäller att sin(kx) och cos(kx) har perioden 360^(∘)/k. Vi använder detta för att lösa deluppgiften. Funktionen är sin(10x) och vi ser att faktorn k är 10. Då är det bara att använda formeln för period!

Detta säger oss att funktionen sin(10x) går ett varv när x går från 0^(∘) till 36^(∘). Vi förtydligar med en graf.

Ett annat sätt att tänka på det är att medan sin(x) går ett enda varv i enhetscirkeln så går sin(10x) 10 varv!

Funktionen är sin(0,1x) och vi ser att faktorn k är 0,1. Vi gör som i deluppgift A och använder formeln för period.

Detta säger oss att funktionen sin(0,1x) går ett varv när x går från 0^(∘) till 3600^(∘). Vi visar med en graf, men kurvan för sin(0,1x) blir nu så utdragen att man knappt ser dess krökning!

Medan sin(x) går ett varv i enhetscirkeln så går sin(0,1x) 0,1 varv, dvs en tiondel av ett varv!