Uppgift 1432 Sida 64

Vi ombeds att modellera populationen av lodjur med hjälp av en funktion y=f(x).

Variabeln y kommer att representera antalet lodjur under ett år x. Populationen blir enklare att modellera om vi låter 2008 motsvara x=0, 2009 motsvara x=1, och så vidare. &y← Antal lodjur under ett årx &x← År, därx=0motsvarar2008 Observera att grafen är vågformad och periodisk. Därför skulle en sinus- eller cosinusfunktion vara bäst för att modellera populationen. Låt oss påminna oss om den allmänna ekvationen för en sinusfunktion. y = A sin(kx + v) + dVi behöver bestämma följande egenskaper hos funktionen:

• Amplituden A
• Perioden k
• Den horisontella förskjutningen v
• Den vertikala förskjutningen d

Vi kommer att bestämma dessa en i taget.

Amplitud

Amplituden ges av följande formel. A = maxvärde - minvärde/2 Vi ser från grafen att det största värdet är 60 och det minsta är 20.

Nu kan vi beräkna amplituden. A = 60 - 202 = 402 = 20

Period

Observera att grafen i 2012 återvänder till den punkt där den började — den ökar och är vid y=40.

Därför tar det 4 år (2009–2012) för kurvan att fullborda en cykel, vilket betyder att perioden är 4. Vi använder detta för att bestämma k enligt följande formel.

Vertikal förskjutning

Den vertikala förskjutningen d ges av y-värdet där kurvans mittlinje är belägen. d = 40

Horisontell förskjutning

En sinuskurva skär normalt y-axeln och dess mittlinje vid samma punkt. Om den inte gör det, har den förskjutits horisontellt. Här ser vi att kurvan börjar exakt där y-axeln och mittlinjen möts!

Således har den inte förskjutits horisontellt alls, så v = 0. Vi har nu alla värden som behövs för att skriva ekvationen för kurvan. y=Asin(kx+v)+d ⇕ y=20sin(π/2x)+40