Uppgift 4137 Sida 215

Övning ger färdighet

Man kan börja med att dra två lodräta linjer: en mellan P och x-axeln och en mellan Q och x-axeln.

Vi inför vinkeln α och markerar trianglarnas vinklar. Vinkelsumman i varje triangel ska bli 180^(∘), vilket leder till att de två toppvinklarna blir 90^(∘) - α och 90^(∘) - v som nedanstående bild visar.

Från figuren ser man att 90^(∘)-vinkeln tillsammans med vinklarna v och α bildar ett halvt varv så vi får v+α+90^(∘)=180^(∘) ⇔ v+α=90^(∘). Denna ekvation ger identiteterna 90^(∘)-α=v och α=90^(∘)-v. Man kan skriva in dessa i den vänstra triangeln, se figur nedan.

Nu ser vi tydligt att de två trianglarna har samma vinklar, vilket innebär att de är likformiga. Eftersom punkten P har koordinaterna (a,b) är den högra triangelns kateter a och b. Hypotenusan utgörs av enhetscirkelns radie och har därför längden 1, se figur:

Låt Q ha koordinaterna (c,d), där c utgör ett negativt tal (då den befinner sig på den negativa delen av x -axeln). Då blir den vänstra triangelns kateter - c och d. Observera att vi stoppar in ett minustecken framför c då detta gör att triangelns sida blir positiv (teckenväxling) eftersom c var ett negativt tal. Hypotenusan utgörs av enhetscirkelns radie och har därför längden 1.

Det blir enkelt att utnyttja likformigheten mellan trianglarna om man orienterar trianglarna på samma sätt. Se figur:

Likformigheten gör att kvoten mellan motsvarande sidor är samma överallt. T ex blir Lång katetHypotenusa samma i båda trianglar, och Kort katetHypotenusa blir också samma i båda. Detta ger ekvationerna -c1= b1 ⇔ -c=b och d1= a1 ⇔ d=a eftersom nu a1=a . Alltså har Q koordinaterna (c,d)=(- b,a).

Vi inför vinkeln u och markerar punkterna P och Q, se figur:

För varje punkt (x,y) på enhetscirkeln som finns så gäller det att x=cos(θ) och y=sin(θ),

där θ är vinkeln mellan punkten och x-axeln (positiv moturs). Detta applicerat på punkterna P och Q ger l l l a=cos(v), & b=sin(v) &(P) - b=cos(u), & a=sin(u) &(Q) Eftersom nu u= v+90^(∘) kan vi skriva om vinklarna i Q som l l l a=cos(v), & b=sin(v) &(P) - b=cos( v+90^(∘)), & a=sin( v+90^(∘)) &(Q) Nu ser vi att vi har två uttryck för vardera a och b. De uttryck som är lika går att likställa. Vi tar a och b var för sig nedan.