Uppgift 4310

Övning ger färdighet

Vi ombeds att rita ett histogram och lägga en normalkurva över den givna datan om skruvarnas vikter.

Vikt i gram	2.75 - 2.85	2.85 - 2.95	2.95 - 3.05	3.05 - 3.15	3.15 - 3.25	3.25 - 3.35
Frekvens	10	28	55	69	54	34

Vi börjar med histogrammet. Vi ritar det i ett koordinatsystem så att det blir lättare att lägga till normalkurvan. x-axeln representerar skruvarnas vikter och y-axeln representerar frekvensen.

Nu lägger vi till staplarna. Till exempel representerar den första stapeln skruvar med vikter mellan 2.75 och 2.85 gram. Enligt tabellen finns det 10 skruvar inom detta viktintervall.

Vikt i gram	2.75 - 2.85
Frekvens	10

Därför kommer den första stapeln att ha en höjd på 10.

På samma sätt använder vi tabellen för att rita alla de andra staplarna.

Nu lägger vi till normalkurvan. Observera att det inte finns något exakt sätt att rita den — det finns många möjliga varianter, eftersom vi bara uppskattar hur kurvan kan se ut. Den högsta punkten på normalkurvan bör ligga i mitten av den högsta stapeln. Vi försöker också rita kurvan symmetriskt så att den skär varje stapel vid dess toppunkt.

Histogrammet är inte symmetriskt, så normalkurvan passar inte perfekt, men den är tillräckligt bra!

Vi ombeds att beräkna medelvärdet och standardavvikelsen för den givna datan. Vi börjar med medelvärdet.

Medelvärde

Observera att vi inte känner till den exakta vikten för varje skruv inom sitt viktintervall. Därför antar vi att skruvarna har en medelvikt inom varje intervall.

Vikt i gram	2.75 - 2.85	2.85 - 2.95	2.95 - 3.05	3.05 - 3.15	3.15 - 3.25	3.25 - 3.35
Medelvikt	2.8	2.9	3	3.1	3.2	3.3
Frekvens	10	28	55	69	54	34

Vi antar att det finns 10 skruvar med vikten 2.8, 28 skruvar med vikten 2.9 gram, och så vidare. För att beräkna medelvärdet adderar vi alla vikterna och dividerar med den totala frekvensen. I stället för att addera 2.8 tio gånger kan vi helt enkelt skriva 10* 2.8 och göra på samma sätt för de andra vikterna. x=10* 2.8+ 28* 2.9+ 55* 3+ 69* 3.1 + 54 * 3.2+ 3.3* 34/10+ 28+ 55+ 69+ 54+ 34 ⇕ x=773.1/250≈ 3.09 Vi fann att medelvärdet är ungefär 3.09.

Standardavvikelse

För att beräkna standardavvikelsen använder vi följande formel. s=sqrt((x_1-x)^2+(x_2-x)^2+... +(x_n-x)^2/n-1) Här står n för den totala frekvensen, som vi tidigare fann vara lika med 250. n= 10+ 28+ 55+ 69+ 54+ 34 ⇕ n=250 Dessutom är x ≈ 3.09. Låt oss uppdatera formeln. s=sqrt((x_1-3.09)^2+... +(x_(250)-3.09)^2/250-1) Eftersom formeln är väldigt komplicerad fokuserar vi på summan i täljaren just nu. Sum=(x_1-3.09)^2+... +(x_(250)-3.09)^2

Observera att det finns många termer (250!) i denna summa. Vi kan dock addera dem snabbt med hjälp av multiplikation. Variablerna x_1, x_2,... representerar vikterna på skruvarna. Vi antar återigen att skruvarna i varje viktintervall har medelvikten för det intervallet.

Vikt i gram	2.75 - 2.85	2.85 - 2.95	2.95 - 3.05	3.05 - 3.15	3.15 - 3.25	3.25 - 3.35
Medelvikt	2.8	2.9	3	3.1	3.2	3.3
Frekvens	10	28	55	69	54	34

Därför har de första 10 termerna formen ( 2.8-3.09)^2, så vi kan skriva deras totala summa som 10* ( 2.8-3.09)^2. På samma sätt kan summan av de nästa 28 termerna skrivas som 28* ( 2.9-3.09)^2, och så vidare. Sum=& 10( 2.8 - 3.09)^2 + 28( 2.9 - 3.09)^2 + & + 55( 3 - 3.09)^2 + 69( 3.1 - 3.09)^2 + & + 54( 3.2 - 3.09)^2 + 34( 3.3 - 3.09)^2 Låt oss beräkna varje term i summan.

Term	Subtrahera	Beräkna potens	Multiplicera
10(2.8 - 3.09)^2	2.8 - 3.09 = - 0.29	(- 0.29)^2 = 0.0841	10 * 0.0841 = 0.841
28(2.9 - 3.09)^2	2.9 - 3.09 = - 0.19	(- 0.19)^2 = 0.0361	28 * 0.0361 = 1.0108
55(3 - 3.09)^2	3 - 3.09 = - 0.09	(- 0.09)^2 = 0.0081	55 * 0.0081 = 0.4455
69(3.1 - 3.09)^2	3.1 - 3.09 = 0.01	(0.01)^2 = 0.0001	69 * 0.0001 = 0.0069
54(3.2 - 3.09)^2	3.2 - 3.09 = 0.11	(0.11)^2 = 0.0121	54 * 0.0121 = 0.6534
34(3.3 - 3.09)^2	3.3 - 3.09 = 0.21	(0.21)^2 = 0.0441	34 * 0.0441 = 1.4994

Nu kan vi beräkna summan. Sum = 0.841 + 1.0108 + 0.4455 + 0.0069+ + 0.6534 + 1.4994 = 4.457 Slutligen är vi redo att gå tillbaka till formeln för standardavvikelsen. Vi ersätter värdet på summan 4.457 i täljaren av bråket i formeln.

s=sqrt((x_1-3.09)^2+... +(x_(250)-3.09)^2/250-1)

SubstituteValues

Sätt in värden

s=sqrt(4.457/250-1)

SubTerm

Subtrahera term

s=sqrt(4.457/249)

UseCalc

Slå in på räknare

s=0.133784...

RoundDec

Avrunda till 21tiondelar 22hundradelar 23tusendelar 24tiotusendelar 25hundratusendelar 26miljontedelar 27hundramiljontedelar 28miljardtedelar

s≈ 0.13

Vi fann att standardavvikelsen är ungefär 0.13.

Vi ombeds använda normalkurvan från deluppgift A för att uppskatta andelen skruvar i stickprovet som hade en vikt i intervallet x - s < x < x + s. Kom ihåg att vi i deluppgift B fann både x och s. s≈ 0.13 x≈ 3.09 Låt oss ersätta dessa värden i intervallet.

x - s < x < x + s

SubstituteII

x= 3.09 och s= 0.13

3.09- 0.13

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

2.96

Nu ritar vi detta intervall i grafen som vi gjorde i deluppgift A. Kom också ihåg att i en normalkurva ligger ungefär 68.2 % av datan inom ett standardavvikelseintervall från medelvärdet.