Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Skalmetoden

Regel

Skalmetoden

Skalmetoden är en metod för att beräkna volymer av rotationskroppar och används främst för kroppar som uppkommer genom att rotera områden kring yy-axeln. För att beräkna volymen av sådana kroppar använder man följande samband.

V=2πabxf(x)dxV = 2\pi \displaystyle\int_{a}^{b}x \cdot f(x) \, \text d x

Området som roteras finns mellan grafen till f(x)f(x) och xx-axeln, från x=ax = a till x=b.x = b. Till exempel kan det markerade området i figuren nedan roteras kring yy-axeln.

Man får då en konliknande kropp med ett cylinderformat hål i mitten.

Skalmetoden rotation.svg

Man kan approximera volymen av den här kroppen genom att dela in den i ett antal cylindriska skal. Dessa har tjockleken Δx,\Delta x, radien xix_i och höjden f(xi).f(x_i). Detta illustreras i figuren nedan, där ett av skalen har ritats separat.

Skalmetoden skal.svg

Om man öppnar detta skal och vecklar ut det får man en form som ungefärligt kan beskrivas av ett rätblock med tjockleken Δx\Delta x och höjden f(xi).f(x_i). Längden är cylinders omkrets, 2πr,2\pi r, och eftersom radien är xix_i blir den 2πxi.2\pi x_i.

Skalmetoden utvecklad.svg

Volymen för det här rätblocket blir 2πxif(xi)Δx,2\pi x_i \cdot f(x_i) \cdot \Delta x, och lägger man ihop alla dessa rätblock får man en summa som approximerar volymen för hela rotationskroppen: V2πx1f(x1)Δx+2πx2f(x2)Δx++2πxnf(xn)Δx. V \approx 2\pi x_1 \cdot f(x_1) \cdot \Delta x + 2\pi x_2 \cdot f(x_2) \cdot \Delta x + \ldots + 2\pi x_n \cdot f(x_n) \cdot \Delta x. Rätblocken har dock inte exakt samma volym som skalen vilket introducerar ytterligare en approximation utöver att dela upp kroppen i cylindriska skal. Men om man låter skalens tjocklek gå mot 0,0, vilket också innebär att antalet skal går mot oändligheten, blir båda dessa approximationer bättre och bättre och summan övergår till integralen V=ba2πxf(x)dx, V = \displaystyle\int_{b}^{a}2\pi \cdot x \cdot f(x) \, \text d x , som beskriver volymen exakt. Bryter man ut 2π2\pi ur integralen får man formeln för skalmetoden. V=2πbaxf(x)dx V = 2\pi \displaystyle\int_{b}^{a}x \cdot f(x) \, \text d x

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward