Regel

Skalmetoden

Skalmetoden är en metod för att beräkna volymer av rotationskroppar och används främst för kroppar som uppkommer genom att rotera områden kring yy-axeln. För att beräkna volymen av sådana kroppar använder man följande samband.

V=2πabxf(x)dxV = 2\pi \displaystyle\int_{a}^{b}x \cdot f(x) \, \text d x

Området som roteras finns mellan grafen till f(x)f(x) och xx-axeln, från x=ax = a till x=b.x = b. Till exempel kan det markerade området i figuren nedan roteras kring yy-axeln.

Man får då en konliknande kropp med ett cylinderformat hål i mitten.

Skalmetoden rotation.svg

Man kan approximera volymen av den här kroppen genom att dela in den i ett antal cylindriska skal. Dessa har tjockleken Δx,\Delta x, radien xix_i och höjden f(xi).f(x_i). Detta illustreras i figuren nedan, där ett av skalen har ritats separat.

Skalmetoden skal.svg

Om man öppnar detta skal och vecklar ut det får man en form som ungefärligt kan beskrivas av ett rätblock med tjockleken Δx\Delta x och höjden f(xi).f(x_i). Längden är cylinders omkrets, 2πr,2\pi r, och eftersom radien är xix_i blir den 2πxi.2\pi x_i.

Skalmetoden utvecklad.svg

Volymen för det här rätblocket blir 2πxif(xi)Δx,2\pi x_i \cdot f(x_i) \cdot \Delta x, och lägger man ihop alla dessa rätblock får man en summa som approximerar volymen för hela rotationskroppen: V2πx1f(x1)Δx+2πx2f(x2)Δx++2πxnf(xn)Δx. V \approx 2\pi x_1 \cdot f(x_1) \cdot \Delta x + 2\pi x_2 \cdot f(x_2) \cdot \Delta x + \ldots + 2\pi x_n \cdot f(x_n) \cdot \Delta x. Rätblocken har dock inte exakt samma volym som skalen vilket introducerar ytterligare en approximation utöver att dela upp kroppen i cylindriska skal. Men om man låter skalens tjocklek gå mot 0,0, vilket också innebär att antalet skal går mot oändligheten, blir båda dessa approximationer bättre och bättre och summan övergår till integralen V=ba2πxf(x)dx, V = \displaystyle\int_{b}^{a}2\pi \cdot x \cdot f(x) \, \text d x , som beskriver volymen exakt. Bryter man ut 2π2\pi ur integralen får man formeln för skalmetoden. V=2πbaxf(x)dx V = 2\pi \displaystyle\int_{b}^{a}x \cdot f(x) \, \text d x

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}