Regel

Skalmetoden

Skalmetoden är en metod för att beräkna volymer av rotationskroppar och används främst för kroppar som uppkommer genom att rotera områden kring $y$-axeln. För att beräkna volymen av sådana kroppar använder man följande samband.

$V = 2\pi \displaystyle\int_{a}^{b}x \cdot f(x) \, \text d x$

Området som roteras finns mellan grafen till $f(x)$ och $x$-axeln, från $x = a$ till $x = b.$ Till exempel kan det markerade området i figuren nedan roteras kring $y$-axeln.

Man får då en konliknande kropp med ett cylinderformat hål i mitten.

Man kan approximera volymen av den här kroppen genom att dela in den i ett antal cylindriska skal. Dessa har tjockleken $\Delta x,$ radien $x_i$ och höjden $f(x_i).$ Detta illustreras i figuren nedan, där ett av skalen har ritats separat.

Om man öppnar detta skal och vecklar ut det får man en form som ungefärligt kan beskrivas av ett rätblock med tjockleken $\Delta x$ och höjden $f(x_i).$ Längden är cylinders omkrets, $2\pi r,$ och eftersom radien är $x_i$ blir den $2\pi x_i.$

Volymen för det här rätblocket blir $2\pi x_i \cdot f(x_i) \cdot \Delta x,$ och lägger man ihop alla dessa rätblock får man en summa som approximerar volymen för hela rotationskroppen: $V \approx 2\pi x_1 \cdot f(x_1) \cdot \Delta x + 2\pi x_2 \cdot f(x_2) \cdot \Delta x + \ldots + 2\pi x_n \cdot f(x_n) \cdot \Delta x.$ Rätblocken har dock inte exakt samma volym som skalen vilket introducerar ytterligare en approximation utöver att dela upp kroppen i cylindriska skal. Men om man låter skalens tjocklek gå mot $0,$ vilket också innebär att antalet skal går mot oändligheten, blir båda dessa approximationer bättre och bättre och summan övergår till integralen $V = \displaystyle\int_{b}^{a}2\pi \cdot x \cdot f(x) \, \text d x ,$ som beskriver volymen exakt. Bryter man ut $2\pi$ ur integralen får man formeln för skalmetoden. $V = 2\pi \displaystyle\int_{b}^{a}x \cdot f(x) \, \text d x$