Konjugerade rötter

Låt

z

vara en rot till ekvationen

p (z) = 0,

där

p (z)

är ett polynom med reella koefficienter:

p (z) = a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0} .

Att

z

är en rot innebär att polynomets värde är

0

då

z

satts in. Om man konjugerar höger- och vänsterledet av denna likhet får man konjugatet av en summa, vilket man kan visa är lika med summan av konjugaten.

a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0} = 0

ConjEqn

$\overline{VL} = \overline{HL}$

\overline{a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0}} = 0

CompGenConjSum

$\overline{z_{1} + z_{2}} = \overset{z}{ˉ}_{1} + \overset{z}{ˉ}_{2}$

\overline{a_{n} z^{n}} + \overline{a_{n - 1} z^{n - 1}} + \dots + \overline{a_{1} z} + \overset{a}{ˉ}_{0} = 0

Termerna är nu konjugat av produkter, vilket på liknande sätt kan visas vara lika med produkten av konjugaten. Eftersom koefficienterna är reella är alla

a

:n lika med sitt konjugat.

\overline{a_{n} z^{n}} + \overline{a_{n - 1} z^{n - 1}} + \dots + \overline{a_{1} z} + \overset{a}{ˉ}_{0} = 0

CompGenConjProd

$\overline{z_{1} z_{2}} = \overset{z}{ˉ}_{1} \cdot \overset{z}{ˉ}_{2}$

\overset{a}{ˉ}_{n} \overline{z^{n}} + \overset{a}{ˉ}_{n - 1} \overline{z^{n - 1}} + \dots + \overset{a}{ˉ}_{1} \overset{z}{ˉ} + \overset{a}{ˉ}_{0} = 0

CompCartConjRe

$\overline{a} = a$

a_{n} \overline{z^{n}} + a_{n - 1} \overline{z^{n - 1}} + \dots + a_{1} \overset{z}{ˉ} + a_{0} = 0

Slutligen kan vi skriva om alla konjugat av potenser som potenser av konjugat.

a_{n} \overline{z^{n}} + a_{n - 1} \overline{z^{n - 1}} + \dots + a_{1} \overset{z}{ˉ} + a_{0} = 0

CompGenConjPow

$\overline{z^{n}} = \overset{z}{ˉ}^{n}$

a_{n} \overset{z}{ˉ}^{n} + a_{n - 1} \overset{z}{ˉ}^{n - 1} + \dots + a_{1} \overset{z}{ˉ} + a_{0} = 0

Vänsterledet är nu precis utvecklingen av

p (\overset{z}{ˉ}),

som alltså är noll. Därför gäller det att

p (z) = 0 \Leftrightarrow p (\overset{z}{ˉ}) = 0,

dvs. att nollställena till polynom med reella koefficienter kommer i konjugerade par.

Q.E.D.

{{ article.displayTitle }}

Konjugerade rötter

Bevis

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}