{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open

Konjugerade rötter

tune
{{ topic.label }}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Bevis

Konjugerade rötter

Icke-reella rötter till polynomekvationer av typen
kommer alltid i konjugerade par, förutsatt att alla koefficienter är reella tal. Det innebär att om t.ex. z=32i visar sig uppfylla ekvationen måste även konjugatet göra det.

Bevis


Låt z vara en rot till ekvationen p(z)=0, där p(z) är ett polynom med reella koefficienter:
Att z är en rot innebär att polynomets värde är 0z satts in. Om man konjugerar höger- och vänsterledet av denna likhet får man konjugatet av en summa, vilket man kan visa är lika med summan av konjugaten.
Termerna är nu konjugat av produkter, vilket på liknande sätt kan visas vara lika med produkten av konjugaten. Eftersom koefficienterna är reella är alla a:n lika med sitt konjugat.
Slutligen kan vi skriva om alla konjugat av potenser som potenser av konjugat.
Vänsterledet är nu precis utvecklingen av som alltså är noll. Därför gäller det att
dvs. att nollställena till polynom med reella koefficienter kommer i konjugerade par.
Q.E.D.
close
Community