mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open

Konjugerade rötter


Bevis

Konjugerade rötter

Icke-reella rötter till polynomekvationer av typen kommer alltid i konjugerade par, förutsatt att alla koefficienter är reella tal. Det innebär att om t.ex. visar sig uppfylla ekvationen måste även konjugatet göra det.

Bevis


Låt vara en rot till ekvationen där är ett polynom med reella koefficienter: Att är en rot innebär att polynomets värde är satts in. Om man konjugerar höger- och vänsterledet av denna likhet får man konjugatet av en summa, vilket man kan visa är lika med summan av konjugaten.
Termerna är nu konjugat av produkter, vilket på liknande sätt kan visas vara lika med produkten av konjugaten. Eftersom koefficienterna är reella är alla :n lika med sitt konjugat.
Slutligen kan vi skriva om alla konjugat av potenser som potenser av konjugat.
Vänsterledet är nu precis utvecklingen av som alltså är noll. Därför gäller det att dvs. att nollställena till polynom med reella koefficienter kommer i konjugerade par.
Q.E.D.