Konjugerade rötter

Låt z vara en rot till ekvationen p(z) = 0, där p(z) är ett polynom med reella koefficienter: p(z) = a_nz^n + a_(n-1)z^(n-1) + ... + a_1z + a_0. Att z är en rot innebär att polynomets värde är 0 då z satts in. Om man konjugerar höger- och vänsterledet av denna likhet får man konjugatet av en summa, vilket man kan visa är lika med summan av konjugaten.

Termerna är nu konjugat av produkter, vilket på liknande sätt kan visas vara lika med produkten av konjugaten. Eftersom koefficienterna är reella är alla a:n lika med sitt konjugat.

Slutligen kan vi skriva om alla konjugat av potenser som potenser av konjugat.

Vänsterledet är nu precis utvecklingen av p(z), som alltså är noll. Därför gäller det att p(z) = 0 ⇔ p(z)=0, dvs. att nollställena till polynom med reella koefficienter kommer i konjugerade par.