Vi har en aritmetisk talföljd
a1, a2, a3, …, an−2, an−1, an och adderar alla dessa termer. Summan kallar vi
S:
S=a1+a2+a3+…+an−2+an−1+an
Eftersom följden är
aritmetisk så är steglängden konstant. Vi kan kalla den
d. Varje tal är alltså
d större än talet innan, och
d mindre än talet efter. Med hjälp av detta skriver vi om alla termer utom första och sista.
Element |
Omskrivet
|
a1 |
a1
|
a2 |
a1+d
|
a3 |
a1+2d
|
⋮ |
⋮
|
an−2 |
an−2d
|
an−1 |
an−d
|
an |
an
|
Vi använder dessa omskrivningar i vår summa:
S=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+(an−2d)+(an−d)+an.
Nu kan vi hitta ett uttryck för
S med ett litet knep. Vi
vänder på hela summan och adderar sedan ekvationerna term för term. Termen med
+d kommer då matchas med
−d, så de tar ut varandra. Samma sak händer för övriga termer.
{S=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+(an−2d)+(an−d)+anS=an+(an−d)+(an−2d)+…+(a1+2d)+(a1+d)+a1
2S=(a1+an)+(a1+d+an−d)+(a1+2d+an−2d)+…+(a1+an)
2S=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)
Kom nu ihåg att summan hade n termer från början, och vi har inte lagt till eller tagit bort några. Det finns alltså fortfarande n termer i summan, och alltså har vi n st par av a1+an.
2S=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)
2S=n(a1+an)
S=2n(a1+an)
Därifrån kommer formeln för en aritmetisk summa.