Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Formeln för en aritmetisk summa

Bevis

Formeln för en aritmetisk summa

Vi har en aritmetisk talföljd a1, a2, a3, , an2, an1, ana_1, \ a_2,\ a_3,\ \ldots, \ a_{n-2},\ a_{n-1}, \ a_n och adderar alla dessa termer. Summan kallar vi SS: S=a1+a2+a3++an2+an1+an S = a_1 + a_2 + a_3+\ldots + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n Eftersom följden är aritmetisk så är steglängden konstant. Vi kan kalla den dd. Varje tal är alltså dd större än talet innan, och dd mindre än talet efter. Med hjälp av detta skriver vi om alla termer utom första och sista.

Element Omskrivet
a1 a_1 a1a_1
a2 a_2 a1+da_1+d
a3 a_3 a1+2da_1+2d
\vdots \vdots
an2 a_{n-2} an2da_n-2d
an1 a_{n-1} anda_n-d
an a_{n} ana_n

Vi använder dessa omskrivningar i vår summa: S=a1+(a1+d)+(a1+2d)++(an2d)+(and)+an. S = a_1 + \left( a_1+d \right)+ \left(a_1+2d \right) + \ldots + \left(a_n-2d \right) + \left(a_n-d \right) + a_n. Nu kan vi hitta ett uttryck för SS med ett litet knep. Vi vänder på hela summan och adderar sedan ekvationerna term för term. Termen med +d+d kommer då matchas med d-d, så de tar ut varandra. Samma sak händer för övriga termer.

{S=a1+(a1+d)+(a1+2d)++(an2d)+(and)+anS=an+(and)+(an2d)++(a1+2d)+(a1+d)+a1\begin{cases} S = a_1 + \left( a_1+d \right) + \left(a_1+2d \right) + \ldots + \left(a_n-2d \right) + \left(a_n-d \right) + a_n \\ S = a_n + \left(a_n-d \right)+ \left(a_n-2d \right) + \ldots + \left(a_1+2d \right) + \left( a_1+d \right) + a_1 \end{cases}
Addera ekvationer
2S=(a1+an)+(a1+d+and)+(a1+2d+an2d)++(a1+an)2S = (a_1+a_n) + \left( a_1+d + a_n-d\right) + \left(a_1+2d +a_n-2d\right) + \ldots + (a_1+a_n)
2S=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)++(a1+an)2S = (a_1+a_n) + \left( a_1 + a_n\right) + \left(a_1 +a_n\right) + \ldots + (a_1+a_n)

Kom nu ihåg att summan hade nn termer från början, och vi har inte lagt till eller tagit bort några. Det finns alltså fortfarande nn termer i summan, och alltså har vi nn st par av a1+ana_1+a_n.

2S=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)++(a1+an)2S = (a_1+a_n) + \left( a_1 + a_n\right) + \left(a_1 +a_n\right) + \ldots + (a_1+a_n)
2S=n(a1+an)2S = n\left( a_1 + a_n\right)
S=n(a1+an)2S = \dfrac{n\left( a_1 + a_n\right)}2

Därifrån kommer formeln för en aritmetisk summa.

Q.E.D.