Bevis

Delbarhet med $3$

Ett tal är delbart med tre om dess siffersumma är delbar med $3$. För att visa detta tar vi ett godtyckligt fyrsiffrigt tal, $abcd$. Siffran $a$ har platsvärdet tusental, $b$ har platsvärdet hundratal, $c$ har tiotal och $d$ har ental. Det står alltså inga gångertecken mellan bokstäverna utan $abcd$ kan delas upp som $1000a+100b+10c+d.$ $1000a$ betyder att vi har "tusen stycken $a$". Vi kan skriva om det som $999a+a$. Vi gör motsvarande uppdelning för $100b$ och $10c$. Det vi vill visa är att om vi delar talet med $3$ ska vi få ett heltal.

$\dfrac{1000a+100b+10c+d}{3}$

Dela upp i termer

$\dfrac{(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d}{3}$

Ta bort parentes

$\dfrac{999a+a+99b+b+9c+c+d}{3}$

Omarrangera termer

$\dfrac{999a+99b+9c+a+b+c+d}{3}$

Dela upp i faktorer

$\dfrac{3\cdot333a+3\cdot33b+3\cdot3c+a+b+c+d}{3}$

Multiplicera in $3$

$\dfrac{3(333a+33b+3c)+a+b+c+d}{3}$

Dela upp bråk

$\dfrac{3(333a+33b+3c)}{3}+\dfrac{a+b+c+d}{3}$

Förenkla kvot

$333a+33b+3c+\dfrac{a+b+c+d}{3}$

Eftersom $a$, $b$ och $c$ är heltal är $333a+33b+3c$ också ett heltal. Om summan $a+b+c+d$ är delbar med $3$ blir hela uttrycket ett heltal. För att talet $abcd$ ska vara delbart med tre måste alltså siffersumman ($a+b+c+d$) vara delbar med $3$.