mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open

Area cirkel

Bevis

Area av en cirkel

Vi låter en cirkel med radie delas in i ett antal lika stora cirkelsektorer. Vi särskiljer cirkelns övre halva från den nedre och markerar dessa i olika färger. Eftersom cirkelns omkrets är blir båglängden av varje halvcirkel hälften av detta, dvs. .

Proof cirkelns area1.svg

Föreställ dig nu att vi vecklar ut alla dessa cirkelsektorer. Vi placerar de blå som tänder som pekar nedåt, och de gröna som tänder som pekar uppåt. Vi lägger ihop dem så får vi en figur som liknar en parallellogram. Vi har varken tagit bort eller lagt till något, så arean på figuren nedan är samma som cirkelns area.

Proof cirkelns area2.svg

Vi kan inte enkelt beräkna arean, men notera att om vi delar in cirkeln i ännu fler, ännu mindre cirkelsektorer så kommer figuren likna en rektangel allt mer. Här gör vi t.ex. dubbelt så många cirkelsektorer som ovan.

Proof cirkelns area3.svg

De "vågräta" sidorna blir allt mer vågräta, och de "lodräta" sidorna allt mer lodräta. Om indelningen görs oändligt tunt kommer figuren bli en perfekt rektangel, med basen och höjden . Arean blir då och detta är alltså cirkelns area.

Q.E.D.