Bevis för avståndsformeln

Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem (betecknas ofta dd) kan ses som hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är de vågräta och lodräta avstånden mellan punkterna, alltså Δx\Delta x och Δy.\Delta y.

Enligt Pythagoras sats förhåller sig hypotenusan till kateterna som d2=(Δx)2+(Δy)2, d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2, där Δx\Delta x och Δy\Delta y är differensen mellan punkternas koordinater. Δx\Delta x är alltså x2x1x_2 - x_1 och Δy\Delta y är y2y1y_2 - y_1. Detta sätts in i uttrycket och dd löses ut för att få avståndsformeln.

d2=(Δx)2+(Δy)2d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2
Δx=x2x1\Delta x={\color{#0000FF}{x_2 - x_1}}, Δy=y2y1\Delta y={\color{#009600}{y_2 - y_1}}
d2=(x2x1)2+(y2y1)2d^2 = \left({\color{#0000FF}{x_2 - x_1}} \right)^2 + \left({\color{#009600}{y_2 - y_1}} \right)^2
d=±(x2x1)2+(y2y1)2d = \pm \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left(y_2 - y_1 \right)^2}
d>0 d \gt 0
d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left(y_2 - y_1 \right)^2}

Eftersom dd är en sträcka är den alltid positiv. Därför är den negativa lösningen inte intressant.

Q.E.D.