{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Area av en triangel

Vi börjar med att studera en rätvinklig triangel som är det enkla fallet. En sådan kan alltid tolkas som en halv rektangel så som bilden visar.

Proof Triangelarea1.svg

Rektangelns area är bhb\cdot h, och triangelns area är alltså hälften av detta: bh2\frac {bh}2. Detta fungerar för rätvinkliga trianglar, men alla andra då? En godtycklig triangel kan alltid vridas så någon sida ligger nedåt. Vi får två fall: Antingen ligger toppen ovanför basen, eller så ligger den utanför. Bilden visar detta, och de två fallen kan även kallas det spetsvinkliga fallet och det trubbvinkliga.

Proof Triangelarea2.svg

Fall 1

Det bildas två rätvinkliga trianglar inuti den stora, båda med höjden hh. Den ena basen är xx och den andra är yy. Deras respektive areor blir då xh2 och yh2. \dfrac{xh}2 \quad \text{ och } \quad \dfrac{yh}2. Genom att addera dessa får vi den stora triangelns area. Kom ihåg att den stora triangelns bas är bb, vilket är lika med x+yx+y.

xh2+yh2\dfrac{xh} 2 + \dfrac{yh}2
xh+yh2\dfrac{xh+yh} 2
\FakII{h}
h(x+y)2\dfrac{h(x+y)}{2}
x+y=bx+y={\color{#0000FF}{b}}
hb2\dfrac{h \cdot {\color{#0000FF}{b}}}{2}
bh2\dfrac{bh} 2

Triangelns area blir alltså bh2\frac{bh} 2 i det här fallet också.

Fall 2

Här bildas en stor rätvinklig triangel med bas b+xb+x och höjd hh, och en mindre rätvinklig triangel med samma höjd men med bas xx. Om vi subtraherar den mindre triangelns area från den större får vi arean av den triangel vi är ute efter.

h(b+x)2xh2\dfrac{h(b+x)}2 - \dfrac{xh}2
Multiplicera in h h
bh+xh2xh2\dfrac{bh+xh}2 - \dfrac{xh}2
bh+xhxh2\dfrac{bh+xh-xh}2
bh2\dfrac{bh}2

Triangelns area blir alltså bh2\frac {bh} 2 oavsett om triangeln är rätvinklig, spetsvinklig eller trubbvinklig.

Q.E.D.